L’essència de les matemàtiques és la llibertat (George Cantor)

El dia a dia

El pentàgon regular

dijous 30 d’abril de 2020

La figura geomètrica més abundant en un món humanitzat és sens dubte el rectangle (hem de pensar que el quadrat està inclòs dins la categoria dels rectangles). Però no ens costaria gens trobar triangles (torres d’alta tensió, bastides...) o, fins i tot, hexàgons (la secció de molts llapis i bolígrafs, algunes rajoles, caseres d’abella...). En canvi, si pensam en el pentàgon, la tasca se’ns apar complicada. Dins el món humanitzat, gairebé impossible. Però si ens hi fixam, la natura ens ofereix alguns exemples ben representatius.

En el món de la zoologia, els equinoderms (com l’eriçó de mar) són els únics animals que presenten la simetria pentarradiada.

(Fòssil de Clypeaster grandiflorax del Museu de Ciències Naturals de Sóller. Mallorca, Vindobonià / Fòsil d’equinoderm en un edifici del Parc Bit)

En canvi en el món de la botànica, són moltes i diverses les plantes que presenten flors de 5 pètals. És el cas de les rosàcies, les estepes, les corritjoles, les palònies, les vaumes, les vinagrelles, les rudes, les prímules, els trepons, la borratja...

(Trepó, ruda, clavell, corritjola, ametler)

Construcció

Hi ha una manera relativament senzilla de construir un pentàgon regular amb una trinxa de paper. Simplement fem un nus simple, i anam estirant perquè encaixi el màxim possible sense estrènyer ni arrugar la tira de paper. La construcció superposada amb el GeoGebra ens confirma que el pentàgon construït és prou regular.

El pentàgon regular es pot construir segons les regles de la geometria grega, és a dir, amb un regle sense marques i un compàs. De fet Euclides proposa una construcció en la proposició XI del llibre IV a partir d’un triangle isòsceles. Una altra construcció possible és la següent:

1. Traçam dues rectes perpendiculars que passin pel centre de la circumferència i definim el punt A
2. Marcam el punt mitjà d’un dels quatre segments obtinguts.
3. Traçam la recta que passa per AM
4. Traçam la bisectriu de la recta que passa per AM amb l’horitzontal i definim el punt H
5. Traçam la paral·lela a l’eix horitzontal que passi per H i definim el vèrtex B
6. Repetim el procés per calcular la resta de vèrtexs (en realitat, per simetria, basta repetir el procés amb el vèrtex C i marcar automàticament D i E)

Propietats

1. L’àrea d’un pentàgon regular té la seva expressió en funció del costat "a" en:

2. La relació entre la diagonal d’un pentàgon regular i el seu costat és la proporció àuria, fi. És a dir, 1,618... Potser aquesta és una de les propietats més populars del pentàgon regular.

3. El pentàgon regular és el primer polígon regular que no tessel·la el pla. És a dir, no podem enrajolar una habitació amb pentàgons regulars sense deixar forats o superposar figures, cosa que sí podem fer amb triangles equilàters, amb quadrats i amb hexàgons regulars. Això es deu a què l’angle interior entre costats del pentàgon és de 108º, que no és divisor de 360º.

4. En canvi el pentàgon regular sí que tessel·la l’esfera, és a dir, podem anar tancant una esfera només amb pentàgons sense que quedi cap forat. Ho podem fer concretament amb 12 pentàgons. És el dodecaedre, un dels cinc cossos platònics, al qual s’associava l’element de l’éter o Quinta essència. El mateix Dalí fa ús d’aquest simbolisme en un dels seus quadres més famosos com és l’últim sopar, pintat el 1955.

(Dodecaedres de Gaudí al baldaquí de la Seu de Mallorca)

5. Si prolongam els costats del pentàgon fins a les interseccions obtindrem el corresponent polígon estrellat, que rep el nom de pentacle (encara que també es coneix com a pentagrama o pentalfa).

L’estrella de 5 puntes o pentacle és una de les figures que es pot traçar sense aixecar el llapis del paper ni passar dues vegades pel mateix traç. És a dir, és un camí eulerià.

(Pentàgon estrellat central d’una tessel·lació de Penrose a l’esglèsia de Santa Maria de Maó, Menorca)

El pentàgon regular -o el corresponent pentacle- és una de les figures místiques per excel·lència des de ben antic. Diversos són els motius com

- La seva associació com a símbol de la persona que esdevé evident en el moment d’inscriure aquesta en un pentàgon (una mica forçat per la longitud més curta del cap).
- La proporció àuria que presenta la relació entre la seva diagonal i el seu costat.
- La relació dels cinc elements si afegim l’èter (o quinta essència) a la terra, l’aigua, l’aire i el foc.
- etc.

Respondre a aquest article