L’essència de les matemàtiques és la llibertat (George Cantor)

El dia a dia

Les escales de caragol

dijous 7 de maig de 2020

(Escala de caragol del castell de l’illa de Cabrera, Illes Balears)

Les escales de caragol són un element urbà prou comú i molt interessant des del punt de vista matemàtic. Començarem dient que el seu nom popular és embulladís ja que en realitat, les línies de creixement d’un caragol i les de l’escala homònima són prou diferents.

En el cas del caragol, la línia anomenada espiral s’allunya del centre (o de l’eix de creixement) mentre que en el cas de l’escala, la barana sempre es troba a la mateixa distància del seu eix central vertical. El nom tècnic d’aquesta corba és hèlice (també es pot anomenar hèlix). El terme helicoïdal s’aplica a la superfície generada per una hèlice per la unió dels seus punts amb l’eix.

Segurament, aquesta confusió nominal ve del fet que, vista o fotografiada des de dins, la perspectiva de l’escala ens ofereix aparentment una línia espiral que canvia la seva distància al centre, com els caragols. (Ho podem apreciar molt bé a la fotografia que encapçala aquest article.) Però estrictament parlant, l’espiral és una corba plana.

Les hèlices són més comuns del que podríem pensar en un primer moment. És el cas dels llevataps, dels grampons o dels perns, del llom de molts quaderns, de les molles...

És curiós el fet que a Catalunya, com en les escales, fan servir també el nom de caragol com a sinònim de grampó.

I què passa a la natura? Doncs que les hèlices són també prou freqüents i especialment importants. Per començar, el nostre codi genètic se sustenta sobre una doble hèlice: és l’ADN. I l’estructura secundària més freqüent entre les proteïnes és també una hèlice (l’hèlix alfa).

L’altre font d’hèlices, com no podria ser d’altra manera, és el món de les plantes. Els circells ramificats de les vinyes desenvolupen hèlices per contacte.

Les fulles dels lliris de platja desenvolupen superfícies helicoïdals.

I els fruits d’algunes flors del gènere Medicago com l’alfals arbori (Medicago citrina) també desenvolupen la seva bajoca en superfícies helicoïdals.

Propietats de les hèlices

1. Definició

Definim hèlice com aquella corba que se genera per enrotllament constant d’una línia sobre una superfície cilíndrica.

Tècnicament, la tangent a aquesta corba en qualsevol punt forma un angle constant amb la recta central fixa anomenada eix. Dinàmicament, una hèlice es pot generar per rotació d’un punt a velocitat constant sobre una circumferència, mentre aquesta circumferència es desplaça també amb velocitat constant a través de l’eix perpendicular a ella que passa pel seu centre.

2. Longitud

La longitud d’una hèlice és funció de tres variables: el radi de gir respecte de l’eix central, el nombre de voltes i la longitud total de l’eix. La seva fórmula s’obté per aplicació directa del teorema de Pitàgores:

3. Desenvolupament pla

Si tallam un cilindre per la línia d’una hèlice, la figura resultant és un paral·lelogram. Això vol dir que el desenvolupament pla d’una hèlice és una recta.

4. Sentit de gir

En no tenir plans de simetria, una hèlice i la seva imatge especular no són iguals. Si el gir es produeix en el sentit de les busques del rellotge, es diu horària o dextrogira. En cas contrari, s’anomena anti-horària o levogira. Aquest fet és bo de veure en molts de retaules barrocs en que les columnes salomòniques (hèlices) d’un costat i de l’altre són simètriques entre si. És el cas del retaule major de Sant Salvador de Felanitx.

D’esquerra a dreta, les columnes serien dextrogira, levogira, dextrogira i levogira.

Per conveni, els perns, els grampons i els llevataps habituals són levogirs, mentre que les hèlices d’enquadernar són dextrogires.

5. Projecció lateral

La projecció lateral d’una hèlice sobre un pla lateral és una funció sinusoïdal.

Història

El pern d’Arquimedes és una màquina per treure aigua (és a dir, una bomba), que consisteix en un pern helicoïdal inserit en un cilindre. Tot i que habitualment s’atribueix al savi de Siracusa (s. III aC), sembla que ja era conegut abans. El mateix Leonardo da Vinci en dibuixa una versió al Codex Atlantiucs.

Pel que fa a les escales de caragol, les més antigues se sustenten sobre un estret cilindre central que fa d’eix. S’atribueix a Guillem Sagrera (Mallorca, s. XIV) la innovació d’eliminar aquest eix. D’aquesta manera, es poden pujar i baixar objectes amb una corda pel centre de l’escala i també s’aconsegueix que l’escala sigui més lluminosa. La primera escala d’aquests tipus seria la que puja a una de les torres de la Llotja de la Ciutat de Mallorca. Trobam escales de caragol mallorquí a la catedral de Sevilla, a la Sagrada Família de Barcelona, etc.

Càlcul del pas per a una escala de caragol

Les escales de caragol tenen dues característiques molt importants pel que fa a l’arquitectura defensiva:

- Minimitzen l’espai consumit.
- Dificulten molt l’entrada d’enemics armats i, per tant, són fàcils de defensar.

Com que es replega sobre si mateixa, una escala de caragol ha de permetre el pas d’una persona. L’alçada disponible entre un graó i el graó que hi ha exactament a sobre, dependrà del nombre de graons per volta i de l’alçada de cada graó.

Normalment, les escales de caragol es dissenyen amb un nombre enter de graons per volta, és a dir, que l’angle d’un graó és un divisor de 360. Si anomenam "n" al nombre de graons d’una volta, llavors el pas d’una escala vendrà donat per: P = (n-1).a

Això fa que, per una alçada de pas determinada (per exemple 2 m) si eixamplam l’angle de gir per tenir més superfície de petjada, llavors hi haurà menys graons per volta, hauran de ser més alts i, per tant, més incòmodes. Per altra banda, si no els fem molt alts, llavors haurem de posar-ne més per volta per poder arribar a l’alçada desitjada, és a dir, que seran més estrets d’angle i, per tant, més incòmodes.

En el cas de la primera fotografia (castell de Cabrera), l’escala té 12 graons per volta. Això vol dir graons de 30º de gir i, aproximadament, de 18 cm d’alçada.

La única manera de millorar la comoditat d’una escala de caragol és augmentar el radi del cilindre que la conté.

En l’antic convent de Santo Domingo de Bonaval (Santiago de Compostela) trobam una magnífica triple escala de caragol.

Respondre a aquest article