SBM-XEIX

Satèl·lits triangulants (NY04)

Mònica Flaquer — 2008-01-23T00:00:00Z

40º 46' 6.70'' Nord, 73º 58' 54.75'' Oest, New York

En aquestes coordenades geogràfiques trobareu l'escultura metàl·lica de la fotografia, situada a Columbus Circle de Nova Iork. Es tracta d'una representació de l'esfera terrestre. La forma quasi esfèrica de la Terra, que actualment ens sembla tan òbvia va ser durant molts de segles motiu de discussió. Els egipcis la suposaven plana i flotant sobre l'aigua, i més endavant els grecs del segle VIII aC la concebien com un disc pla i rodó. Va ser Aristòtil un dels primers a afirmar que la Terra era rodona quan es va adonar que des de diferents ciutats es podien observar constel·lacions diferents (si fos plana, el cel nocturn es veuria igual des de tots els llocs de la Terra). L'observació de la forma circular de l'ombra terrestre sobre la lluna durant els eclipsis en va confirmar la teoria. A partir d'aquestes i altres evidències va quedar provat que la Terra no era plana sinó rodona i la confirmació final ens l'han donada les fotografies realitzades pels satèl·lits espacials que proporcionen una visió completa del planeta des d'una nova perspectiva.

És precisament una xarxa de satèl·lits en òrbita sobre la Terra la que ens permet determinar quasi exactament la posició d'un objecte sobre la superfície terrestre, gràcies al sistema GPS (Sistema de Posicionament Global). Per fer això, l'aparell de GPS localitza un mínim de tres satèl·lits de la xarxa dels quals rep uns senyals que li permeten calcular la distància de l'objecte a cada un d'ells.

Amb el primer satèl·lit com a centre i la seva distància a l'objecte com a radi, es crea una esfera virtual. El mateix es fa amb el segon satèl·lit i s'obté una nova esfera que interseca l'anterior en una circumferència. Finalment, amb l'esfera virtual corresponent al tercer satèl·lit s'obtenen dos punts d'intersecció amb la construcció d'abans: un situat a l'espai (que es descarta) i l'altre situat sobre la superfície terrestre, que és el que ens interessa (on es troba l'objecte). Així es determina la posició relativa de l'objecte respecte dels tres satèl·lits i partir de les seves coordenades (conegudes pel senyal que emeten) es pot obtenir la posició absoluta o coordenades reals que cercàvem.

El principi matemàtic amagat darrere de tots aquests càlculs es coneix amb el nom de triangulació.

Per saber més:

Espiral o hèlix? (NY03)

Daniel Ruiz, Mònica Flaquer — 2008-01-18T01:24:50Z

Solomon R. Guggenheim Museum, New York

En les creacions artístiques o de disseny el component matemàtic és un factor més que apareix juntament amb la llum, el color o el volum. Per això és interessant conèixer i saber manejar amb propietat els elements geomètrics que han utilitzat els dissenyadors per crear les seves obres.

La importància de la geometria radica precisament en la seva utilitat per a l'estudi i tractament de les formes, com les que l'arquitecte Frank Lloyd Wright va utilitzar per idear l'edifici del Solomon R. Guggenheim Museum de Nova York.

Aquesta obra arquitectònica sovint es descriu com un edifici de disseny en espiral, però aquesta és una afirmació matemàticament incorrecta: espiral i hèlix són dos termes que es confonen fàcilment fins el punt en què familiarment s'arriben a considerar sinònims, sense ser-ho:

Una espiral és una corba que s'inicia en un punt central i es va allunyant progressivament del centre mentre gira al seu voltant. Les més conegudes són planes, com el solc d'un disc de vinil o els braços d'una galàxia espiral.

Una hèlix, en canvi, només és representable en un espai tridimensional com una corba contínua de pendent finit i no nul que gira al voltant d'un con (hèlix cònica) o d'un cilindre (hèlix cilíndrica).

Identificar hèlix amb espiral només seria vàlid en el cas de l'hèlix cònica (corba que talla les generatrius d'un con amb un angle constant), que es podria considerar com un cas particular d'espiral tridimensional (construïda a partir de l'espiral plana afegint-hi una tercera variable, l'altura, com a funció contínua i monòtona depenent de l'angle). Però en cap cas no és acceptable afirmar que l'hèlix cilíndrica és un tipus d'espiral tridimensional.

L'hèlix cilíndrica descriu una corba que talla totes les generatrius d'un cilindre recte amb angle constant. Dit altrament, la distància entre dos punts de tall consecutius de l'hèlix amb qualssevol de les generatrius és una constant de la corba, independent de la generatriu o els punts escollits.

I aquesta és precisament la forma que té la galeria principal del Guggenheim de New York: hèlix.

Optimització edificada (NY02)

Daniel Ruiz, Mònica Flaquer — 2008-01-14T00:00:00Z

Hearst Tower, New York

Crida l'atenció l'estructura en forma de graella diagonal que Norman Foster va dissenyar per a la Hearst Tower. Els triangles que la componen es veuen reforçats per suports diagonals entrecreuats fets d'acer que donen resistència a l'edifici, i distribueixen el pes i les forces internes de manera òptima. Aquesta carcassa permet que els diferents pisos se sostinguin per ells mateixos sense la necessitat d'emprar columnes que llevin espai i per si tot això fos poc, la quantitat d'acer estructural (que, per a més fer, és 80% reciclat) necessari per construir aquest gratacels tan sorprenent és un 20% inferior a la que es necessita per a les torres convencionals. A més es tracta d'un edifici pioner en la sostenibilitat mediambiental pel que fa a estalvi d'energia i ús eficient dels recursos.

En relació a això, una de les aplicacions de les matemàtiques que al llarg de la història ha trobat més profit per a la societat, és l'optimització. Un problema d'optimització consisteix a, donades unes condicions inicials fixes, determinar unes variables que es troben en un interval, de manera que es trobi un màxim o un mínim del resultat, optimizant-ne el procés. Un exemple bàsic és, donada una làmina d'àrea fixa, trobar les dimensions d'una capsa que es pot construir amb la làmina, perquè el volum de la capsa resultant sigui màxim. Està clar que l'objectiu d'estudiar aquests problemes és l'eficiència en la utilització de recursos, tan necessària cada vegada més.

En poques paraules, la Hearst Tower és l'optimització edificada.

La probabilitat nul·la (NY01)

Daniel Ruiz, Mònica Flaquer — 2008-01-12T00:00:00Z

Districte financer, New York

En teoria de la probabilitat, a un succés impossible que succeeixi se li assigna la probabilitat zero. O, per als més puristes, el conjunt del succés té mesura de probabilitat nul·la.

Per exemple, si tiram un cub amb totes les cares iguals, com podria ser un dau, quina seria la probabilitat que quedàs com en aquesta fotografia?