SBM-XEIX

Suposem una síndria esfèrica...

Josep L. Pol i Llompart — 2014-08-05T13:19:27Z

Grans magatzems, Tòquio

... doncs no! Almanco a Tòquio podem trobar síndries cúbiques! La pregunta que ara s'imposa és... i què hi guanyam amb síndries d'aquesta geometria? Per començar, podríem argumentar que així la síndria no presenta el problema de rodolar per la gelera o que hi cap millor en les seves prestatgeries. Però com que habitualment les modificacions no van en la direcció d'afavorir el client, sinó el comerciant... què hi guanya doncs el comerciant? Doncs el comerciant hi guanya prou. Per començar, en els viatges de transport de l'hort (si és que encara les fan a l'hort) a la botiga, el volum de càrrega del camió es pot aprofitar en un terç més (les esferes apilades segons la conjectura de Kepler -la millor com practicament demostrà Thomas Hales el 1998- ocupen només el 74% de l'espai). A més, com que el repòs sobre una cara plana dismuneix la pressió sobre la pell, les síndries no es copegen tant i se'n tuden menys.

I què hi perdem nosaltres? Doncs que pagam més pell i menys polpa. Arquímedes, ja havia conjecturat que l'esfera havia de ser la figura òptima que presentàs menys superfície per unitat de volum (cosa que convertí en teorema Hermann Schwarz el 1884).

La pregunta que ara s'imposa, doncs, és, quina forma haurien de tenir les síndries per deixar contents comerciants i consumidors? El mateix Kepler, observant els grans d'una magrana, observà l'encaix de dodecaedres de cares ròmbiques. Lord Kelvin feu una proposta l'any 1887 a partir de formes parescudes a un octaedre truncat i no va ser fins el 1993, que Weaire i Phelan descobriren altres formes que milloraven l'estructura en un 0,3%! Estructura que varen aprofitar els arquitectes del Centre Olímpic de Natació (el cub d'aigua) de Pequín a les olimpíades de 2012.

Síndries Weaire i Phelan? Què voleu que vos digui...

Horus versus Vuitton

Josep L. Pol i Llompart — 2014-07-26T09:00:46Z

Ginza Itchome, Tòquio

Al carrer de Ginza Itchome de Tòquio, a la zona comercial diguem-ne bona, hi trobam aquests dos edificis separats uns tres-cents metres i un a cada banda de carrer. L'ull d'Horus és ben conegut a les matemàtiques egípcies, ja que cada una de les seves parts representen les potències naturals successives d'un mig. 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 i 1/64. El mateix Alan Parsons marcava aquestes relacions al seu famosíssim disc eye in the sky.

A l'altre costat, els dissenyadors de la finca que allotja la marca Louis Vuitton, s'han inspirat precisament en aquesta seqüència (si ho han fet conscientment o no és farina d'un altre sostre). Qui guanya a qui? Doncs només hem de comptar quantes vegades els arquitectes han decidit dividir per dos el costat del quadrat més gran.

Si ho feis veureu que el falcó vola més alt... Què hagués passat amb l'edifici de moda si s'hagués hagut de tenir una altra divisió? Quans quadrats grans bastarien per recobrir la façana principal de l'edifici i, en canvi, quants de petits se'n necessitarien?

Més enllà del seny

Josep L. Pol i Llompart — 2013-11-27T13:08:00Z

S'Albufera, Alcúdia i Muro

La simetria és sinònim d'equilibri. Mirau sinó la barrera d'aquest portell feta amb barres d'ullastre. De jove pensava en la feinada per trobar dues branques amb la mateixa curvatura fins que algú em descobrí el secret. Simplement es tracta de trobar branques corbades sobre un pla i xapar-les per la meitat. L'efecte és preciós i el fuster hi ha situat dues ics que, convenient desplaçades, es podrien transformar en dues aleph.

Però són realment simètriques les barres? El fet de tallar les branques per la meitat amb una serra fa que s'elimini un cert gruix de fusta entre els dos plans i, per tant, la cara d'un costat no ha estat mai realment en contacte amb la cara de l'altre costat. És a dir, que no, no són perfectament simètriques. Llavors, un pot pensar en el procés matemàtic d'anar disminuint la gruixa de la serra fins a límit zero. Seria una mica com la successió d'intervals de plans encaixats. Anar acostant un a l'altre, sempre més a prop... però mai junts.

Els viatges per l'univers dels infinits són perillosos tot i que possibles. Necessiten algú com Georg Cantor (To touch the sky, a dreamer must be, someone who has more imagination than me..., Inside looking out). Algú sense por d'anar més enllà d'allò establert, més enllà... del seny.

Cantor demostrà el 1877 en una carta a Dedekind que es podia establir una bijecció entre els punts de l'interval unitat i tots els punts d'un espai p-dimensional (ni jo mateix m'ho puc creure, digué). És a dir, que el petit espai de matèria que elimina la serra en una branca potser emparellat amb tots els punts de l'univers. Potser per això, aquesta petitíssima unitat de matèria autoconscient que som les persones és tan potent que és capaç d'imaginar l'infinit temporal de l'univers que ens acull. No és això, d'alguna manera, participar de l'eternitat? Qui necessita Déu llavors? Com deia Hilbert, ja ningú no ens podrà fer fora del paradís (que Cantor ha) creat.

La gavina de Buffon

Josep L. Pol i Llompart — 2013-04-08T04:09:53Z

Vall de Bàlitx, Sóller

Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon (1707-1788), és un d'aquells personatges la vida del qual bé valdria una novel·la. Un vertader savant (matemàtiques, ciències naturals, cosmologia, literatura...) que segurament contribuí amb la seva empenta a l'aparició de la il·lustració revolucionària. La mateixa que es cobraria el delme amb el seu fill, ja que la cronologia el protegí a ell del tall guillotinador, pel seu títol nobiliari i estimat com era de Lluís XV.

Nascut un set de set-embre de mil set-cents set (el mateix any que Euler), a l'edat de 26 anys plantejà el famós problema de l'agulla que ara porta el seu nom. Aquest problema diu que si anam llançant una agulla de longitud L sobre un sistema de paral·leles separades entre si una distància també L, llavors la freqüència de llançaments que tallin alguna recta se semblarà cada vegada més a 2/Pi. Un resultat molt interessant, que ell mateix demostrà aplicant el joveníssim càlcul diferencial, i que serviria aleshores per fer estimacions del valor de Pi.

El problema més general, modifica aquest resultat amb un factor de proporció entre la longitud de l'agulla i la distància entre rectes (L/D). D'aquesta manera, podem esbrinar si aquest estol de gavines es deixa aplicar el model francès. Afegim-hi una línia més o menys seguint la seqüencia de l'estesa elèctrica.

Comptem ara les gavines-agulla que toquen alguna línia. Surten 11 de 125. En aquest cas, això significa que per una distància mitjana estimada entre línies d'una unitat, la longitud mitjana en l'envergadura de les gavines seria de 0,14 unitats, cosa que encaixa prou bé amb allò observat. Com diria l'amic Anton Aubanell... és que les gavines saben matemàtiques?

Recordant Gauss i Arquimedes

Josep L. Pol i Llompart — 2013-03-13T12:56:20Z

Aquesta finestra en un edifici de la ciutat d'Inca em fa pensar en l'epitafi que volia per a la seva tomba Carl Friedrich Gauss. Conten que el príncep de les matemàtiques n'estava ben cofoi del descobriment que feu a la tendre edat de 19 anys. Després d'una sequera de dos mil·lenis, va trobar la manera de construir el polígon regular de 17 costats segons les regles clàssiques de la geometria, és a dir, amb regle i compàs.

I va dir que volia el dibuix per a la seva tomba. El que va passar després, és que l'escultor va trobar que un polígon de 17 costats no es distingiria massa d'una circumferència, i per tant no el va fer. Ai si Gauss aixecàs el cap...

No és extrany doncs, que aquest prisma de 56 costats es pugui embolcallar gairebé sense falla amb una circumferència.

L'altre record seria el mètode d'exhaustió que Arquimedes va emprar per calcular un valor aproximat de pi. En efecte, a força d'inscriure polígons regulars cada vegada amb més costats dins una circumferència, el quocient entre l'àrea del polígon i el radi de la circumferència al quadrat serà tan proper al valor de pi com volgem.

De fet, amb un polígon com aquest de 56 costats, el valor de pi calculat seria de 3,1350, encara no tan bo com l'aproximació racional que feia servir el mateix mestre de Siracusa de 22/7. Per cert, que demà és el dia de Pi. Feliç 14 de març o 3/14 que diuen els anglosaxons.

Un sangaku al restaurant japonès

Josep L. Pol i Llompart — 2012-10-16T23:01:39Z

Restaurant japonès Shogun, Palma

Els sangakus són un tipus de matemàtica creativa que florí al Japó aïllat dels segles XVII, XVIII i XIX. Es tracta de problemes geomètrics, molts d'ells extremadament difícils, representats en tauletes de fusta que es penjaven sota les teulades dels temples. Tot i això, sempre hi havia nins que els resolien per camins no ortodoxes, creatius. Se'n conserven més de vuit-cents.

Dinant en un restaurant japonès de Palma en sobta aquest immens ull. Si aquesta és la solució, quin podria ser el problema?

D'entrada, veim que el fuster que l'ha fet, ha decidit inscriure un gran quadrat en la finestra circular. Els costats d'aquest quadrat s'han dividit entre quatre i s'ha quadriculat el resultat. I aquest fet fa que no es vegi cap segment del perímetre del següent quadrat concèntric, el de 6x6. Per tant, el problema podria ser: quin és el nombre màxim d'unitats enteres en què podem dividir un quadrat de manera que ocorri això? Aquest problema, lògicament es podria resoldre algebraicament.

Però recolzant-nos en una altra mirada matemàtica, podem recordar que un teorema d'Euclides ens diu que l'àrea d'un quadrat inscrit en una circumferència és la meitat que la del circumscrit. Per tant, lògicament si aquest quadrat mesura 16 quadradets, el següent seria de 36 quadradets, és a dir, que ultrapassa els límits de la circumferència que tendria un quadrat circumscrit de 32 quadradets. Si dividíssim el quadrat inscrit en 5x5, llavors el quadrat concèncric següent de 7x7 tendria 49 quadradets i, per un quadradet de diferència ja veuriem quatre petits segments del perímetre d'aquest quadrat (més petit ara que el circumscrit) als quatre punts cardinals. Els clàssics ens surten a camí.

Vist des del GeoGebra:

El quadrat inicial de 3x3

El quadrat inicial de 4x4 (el del restaurant)

El quadrat inicial de 5x5

Un problema de llibre

Josep L. Pol i Llompart — 2012-09-26T10:57:40Z

No, no es tracta d'una frase feta. Vertaderament, la primera vegada que vaig trobar aquest problema fou en un llibre, de text. Avui, en una escola de Ciutat, he trobat aquest mirall que el m'ha recordat. Deia, poc més o menys:

a) Quina és la diferència de longitud entre una circumferència de 5 m de radi i una altra de 10 m? b) Quina és la diferència de longitud entre una circumferència de 100 m de radi i una altra de 105 m? (Intenta pensar, abans de fer els càlculs per al segon apartat, si el resultat serà major, menor o igual que el del primer apartat.)

Un problema ben maco. Calcular per fer pensar. Pensar abans de calcular. La situació del mirall és -aproximadament- la mateixa. Dit d'una manera més senzilla i ben contextualitzada: podria saber el vidrier, comptant els quadrets de les dues primeres circumferències, quants en necessitaria per fer les següents? La solució la teniu davant.

L'altre record que em duu aquest mirall és el de l'episodi de Gauss i el gravador de la seva tomba. Diuen que un dels descobriments dels que estava més orgullós, era el d'haver trobat la manera de construir l'heptadecàgon regular a la grega, és dir, només amb regle i compàs (1796). N'estava tan cofoi, que va voler que gravassin aquesta figura a la seva tomba. Emperò el gravador va dir que no es podia fer perquè pràcticament el que es veuria seria una circumferència. Pobre Gauss. I és que la circumferència més interior d'aquest mirall, és en realitat un polígon de 53 costats! Potser tenia raó el picapedrer...

Reinventar la geometria

Josep L. Pol i Llompart — 2012-09-15T13:47:18Z

Aquest matí me sorprèn aquest cartell a l'oficina de correus. Entenc que volen dir que poden anar en qualsevol direcció del món. Clar que, 360º estaria bé si el món fos pla però... resulta que parlam d'una superfície esfèrica.

Facem algunes reflexions. En primer lloc, si el bocí de món és molt, molt petit, l'aproximació d'una superfície plana es pot acceptar. Pensem, per exemple, en la superfície de Mallorca. Però clar, si el missatge és que es pot arribar a tot el món, que Correus és una entitat potent, això ja no val.

Pensem, doncs, en un radi d'acció de... 5000 km? Venga! Quina longitud tendria, sobre l'esfera terrestre, la circumferència de punts allunyats aquesta distància d'un punt central? Com que el metre es va definir a partir del meridià (la deumilionèsima part d'un quart d'aquest) 5000 km correspondran, situant el centre sobre el Pol Nord, al cercle de latitud 45º Nord. Per tant, el radi pla de la seva circumferència serà el radi de la terra pel cosinus de 45. És a dir, 4502 km que brinden 28287 km de circumferència de paral·lel.

Per tant, en realitat, un radi corb sobre la terra de 5000 km abraça una circumferència de 28287 km. Si fos plana, amb el mateix radi aquesta circumferència tendria 31416 km. Per tant, podríem dir que, sobre la Terra, per arribar a 5000 km no els calen 360º, amb 324º en farien prou.

L'article de Lobachewsky de 1829 "Sobre els principis de la Geometria" marca el naixement oficial de les geometries no euclídies. Gauss, Riemann, Bolyai... i tot un estol d'heroics cavallers aconseguien enderrocar, més de 2000 anys després, alguns dels vells postulats d'Euclides. Ells sí que reinventaren la geometria.

Compte enrere

Josep L. Pol i Llompart — 2011-01-05T15:12:49Z

Jaume III, Ciutat de Mallorca

Llegint pel carrer un llibre de Fernando Muñoz sobre la història dels calendaris i els rellotges se'm fa topadís aquest semàfor amb un dispositiu de compte enrere per saber els segons que falten per canviar de color.

Si demanàssim a algú en quines situacions s'empra el compte enrere, apareixeria amb facilitat el cas del llançament de les naus espacials i el cas dels temporitzadors de les bombes en les pel·lícules d'acció. I pel que sé, el compte enrere ja era utilitzat en les pel·lícules de coets abans que aquests fossin llançats realment.

El que ja no és tan conegut és la manera que tenien els romans d'identificar els dies del mes, precisament en compte enrere. Només tres dies tenien nom propi. El primer dia de cada mes s'anomenava Kalendas (i d'aquí el genèric de calendari), el cinquè (o setè si era març, maig, juliol o octubre) era dit Nonas, mentre que el tretzè (o quinzè en el cas d'aquells mesos) tenia l'etiqueta d'Idus. A partir d'aquí, els altres dies s'etiquetaven amb el nombre de dies (més un) que faltaven per arribar a un dia amb etiqueta pròpia. D'aquesta manera, el VI Kalendas Martii era el nostre 24 de febrer en un any no bixest.

Aquest "nombre de dies més un" es deu al costum que tenien els romans de comptar de manera inclusiva, és a dir, de comptar tant el dia de partida com el d'arribada. Alguns rastres d'aquesta manera de fer els trobam també en els intervals musicals (l'octava són en realitat set intervals) o quan col·loquialment deim, per exemple, "de diumenge en vuit" per significar el pas d'una setmana.

Un altre cas particular que computa el temps que falta per arribar al dimecres de cendra tot partint del dia de Nadal, que era mostrat a la gent en forma de neules penjants i que encara es viu en algunes esglésies, ja l'explicàrem en una altra mirada matemàtica.

Molins de Sumer

Josep L. Pol i Llompart — 2009-12-05T14:02:00Z

Prat de Sant Jordi, Palma

Qui -essent infant- no ha dibuixat un hexàgon simplement a partir d'una circumferència marcant els arcs corresponents amb el mateix radi d'aquella?

El poble sumeri i els savis babilonis, bons astrònoms ells, tenien un sistema de numeració prou especial: el de base seixanta (anomenat per això sexagesimal). La combinació d'aquest sistema numèric amb els sectors circulars procedents d'aquella operació geomètrica del primer paràgraf explicaria prou bé perquè el gir d'una circumferència es va dividir des d'antic en 360º: sis vegades seixanta. Tot i això, alguns enginys militars han traçat també circumferències de 400º encara que aquest sistema no ha fet fortuna.

A més, una coincidència astronòmica reforçaria prou aquest conveni: l'arc d'un grau així traçat correspon amb bona aproximació a un dia en la volta de la Terra al voltant del Sol.

Tant si miram el nostre rellotge com si escorcollam el cel, l'herència dels avantpassats iraquians, tan maltractats avui, ens surt a camí. Una herència de més de quatre mil anys.