SBM-XEIX

El colomer de Port Lligat

Josep L. Pol i Llompart — 2011-06-09T12:58:03Z

Casa Museu de Dalí i Gala, Port Lligat, Girona

L'any 1940, mentre Dalí passava aquelles primaveres i estius a Port Lligat, Raphael M. Robinson rebatiava el Schubfachprinzip (principi del caixó) de Johann Dirichlet (enunciat el 1834) com a principi del colomer. Aquest principi és un d'aquells que fàcilment dibuixen un somriure en la cara de l'oient desprevingut: si en un colomer hi ha més coloms que llocs o forats, hi haurà, com a mínim, un forat amb dos o més coloms.

Dic això del somriure perquè, com a bon principi, la seva evidència l'eximeix de demostració (encara que no sempre és senzill distingir allò que és principi d'allò que requereix demostració). Però no per això, les seves aplicacions ha de ser necessàriament trivials.

En virtut d'aquest principi, podem afirmar, per exemple, que qualsevol políedre presentarà sempre un mínim de dues cares amb el mateix nombre d'arestes. O que donats cinc nombres naturals qualsevols, sempre es podrà escollir un tern la suma dels quals sigui múltiple de 3. O que...

També l'any 1940, Dalí pintava la cara de la guerra, i arribava (com ja ho havien fet alguns altres artistes) a la idea de fractal a través de l'art.

Necessària i suficient

Josep L. Pol i Llompart — 2010-09-23T09:42:00Z

Son Sant Joan, Palma

Vora l'aeroport de Palma, situat en plena zona humida de l'antic prat de Sant Jordi, aquests molins aiguaders -dits de ramell- drenaven l'aigua del subsol en un intent, no gaire reeixit, d'eixugar la terra. Tanmateix la modernitat ha canviat aquests giravolts per uns de molt més potents que, ara sí, duen camí d'eixugar el prat i qualque cosa més.

Si fa vent, els molins roden, però si giren les pales, també es produeix vent. Més al nostre gust, podríem dir que la condició necessària i suficient perquè un molí o turbina giri és que hi hagi vent. Si i només si. (En aquesta afirmació hi podríeu trobar tots els emperons que vulgueu perquè no estan definides les condicions d'aplicació.)

I amb això estant, em ve al cap el teorema de Pitàgores perquè, essent també un teorema necessari i suficient, hi ha molts llibres que només expliquen un sentit de la doble implicació. En general, l'alumne arriba a saber (això de comprendre ja serien figues d'altre sostre) que en un triangle rectangle es produeix la relació de costats que tots coneixem. Però quants alumnes trobaríem que fossin capaços d'afirmar com és un triangle a partir d'aquesta relació de costats?

Després de fer-ho palès, algun alumne també ens podria dir: "ja està clar", però no hi està. És molt perillós deixar com evident el sentit invers perquè de facto, estam reforçant una estructura lògica errònia. Les coses no són sempre, ni prop fer-hi, reversibles. I fonamentar les regles lògiques del saber és una de les tasques emocionants en la feina d'un professor.

Epimènides, Gödel, Escher, Bach, Matrix, Google...

Josep L. Pol i Llompart — 2009-10-21T10:20:36Z

Parc Bit, Son Espanyol, Palma

Es diu que un dels trets que ens fa persones és la capacitat que tenim de pensar-nos pensant. Aquesta mena d'autoreferència mental és allò que anomenam consciència. Ja sigui psíquica, matemàtica, artística... l'autoreferència és un dels processos més estimulants que coneixem i en tenim notícia des de ben antic. És el cas de la famosa paradoxa del cretenc Epimènides quan afirmava que tots els cretencs eren mentiders.

Més a prop en el temps, Douglas R. Hofstadter escriu el seu famós i magnífic llibrot Gödel, Escher, Bach, un Etern i Gràcil Bucle que li valgué el Pulitzer i l'American Book Award de 1980.

Entrar dins el vertigen espiralat de l'auto-referència ens pot abocar al dubte existencial de realitat versus imatge. Vaja, que ens pot fer tornar boiets.

Passant pel Parc Bit, els creatius de cent&ment em fan dubtar de si estic passejant pel món o som un conjunt de tebibytes que corren pel Google Earth manejats per qui sap qui. Amb les màquines cada vegada més potents, no és absurd pensar un futur proper en què les imatges via satèl·lit d'aquest programa estiguin disponibles en temps real (amb tots el problemes que això suposaria del dret a la intimitat, de manera que el món sencer es convertiria en una "zona videovigilada"). Representacions cada vegada més detallades que gairebé fan els plànols obsolets. Es pot arribar a duplicar una part de la realitat? Què podrem decidir llavors? Quina de les dues serà la bona? Correran parelles?

Per acabar de fer el pa bo, només em faltaria l'ensurt, abans de concloure l'articuletxo, de veure reflectits a la pantalla de l'ordinador en Neo, na Trinity o en Mor... ah!

Paradoxa del martell

Daniel Ruiz — 2009-07-15T00:00:00Z

Tren rodalies Màlaga - Fuengirola

Amb aquesta mirada que fa 150, us vull presentar una situació una mica paradoxal que em vaig trobar en un tren. Veient la inscripció ens pot venir al cap la pregunta:

Com s'ha de rompre el vidre que conté el martell?

Com diu la inscripció, el martell és el que romp els vidres i per tant, no hi ha cap altra manera (a priori permesa) per rompre els vidres...

Aquesta situació em recorda una de les paradoxes més importants de la lògica del segle XX: la paradoxa de Russell. Descrita el 1901, demostrava que la teoria de conjunts descrita per Cantor i Frege duia a una contradicció. Una de les múltiples versions d'aquesta situació és la paradoxa del barber:

En un poble llunyà hi havia un únic barber. Un dia el rei es va adonar que hi havia pocs barbers al regne i va ordenar que els barbers només afaitarien aquelles persones que no poguessin fer-ho per elles mateixes. Però al barber li va sorgir un dubte que va consultar amb el rei:

Al meu poble som l'únic barber. Si m'afait, puc afaitar-me per mi mateix, per tant el barber del meu poble no hauria d'afaitar-me..., però resulta que l'únic barber del meu poble som jo!

El rei va pensar que els pensaments del barber eren tan profunds que el va premiar amb la mà de la més virtuosa de les seves filles. Així el barber va viure per sempre feliç.

Una de les solucions propostes pels matemàtics va ser l'axiomàtica, avui en dia vigent, de Zermelo-Frankel, en què aquestes situacions són impossibles per axioma.

Ben mirat, el rei no anava tan descabdellat... I si, directament, el martell no tengués cap vidre per accedir-hi?

Enllaços:
Article a epsilones
Article a la wikipedia (AN)
Article a la wikipedia (ES)

El terç exclòs

Daniel Ruiz — 2006-08-06T08:00:00Z


El terç exclòs

Gran Via de les Corts Catalanes, Barcelona

A matemàtiques, la llei del terç exclòs (en llatí tertium non datur) diu el següent:

Tota proposició és, o bé certa, o bé falsa.

és a dir, no hi ha possibilitat que hi hagi una tercera possibilitat. Aquesta llei, utilitzada des de molt antic per Aristòtil, és un dels fonaments del raonament lògic i matemàtic.

Altres formulacions d'aquest principi són:

Sòcrates és mortal, o bé Sòcrates no és mortal.

A és B o A no és B.

Moltes demostracions matemàtiques utilitzen aquesta llei, amb la reducció a l'absurd. Se suposa el contrari del que es vol demostrar, i si s'arriba a una contradicció, doncs voldrà dir que ha de ser el que volíem demostrar. (És a dir, si no pot ser el contrari de A, ha de ser A).

Aquest principi es va discutir molt a començaments del segle XIX, pels lògics intuïcionistes, pels quals aquest principi del terç exclòs no hauria de ser admès, i tot element matemàtic hauria de ser construit. Aquestes idees van ser rebutjades per molts matemàtics, com ara Hilbert.

De tota manera, què hauríem de fer davant aquest semàfor?

Quan els conills saben llegir les hores

Jaume Perelló — 2006-02-22T08:00:00Z


Central Park, Nova York

Tot sovint als matemàtics i matemàtiques ens agrada jugar amb les propietats de les coses. Un bon exemple d'això s'en pot trobar a l'àlgebra, on exigim que un conjunt amb aplicacions associades compleixi certes propietats. Al final de moltes de les demostracions, els més curiosos, ens demanam si realment feia falta tot allò que exigíem. Feim proves eliminat tal o tal altra propietat, aconseguint, la majoria de vegades, un bon maldecap com a únic premi.

El Matemàtic Charles Lutwidge Dodgson (més conegut com Lewis Carrol) va fer també les seves juguesques. El conjunt triat: "la societat de la seva època", l'aplicació eliminada: "la cordura". D'aquí naixeria l'obra que el faria famós: "Alícia en terra de meravelles". Un seguit de situacions absurdes i intel·ligents similars als raonaments que es gesten dins els cervells dels matemàtics quan intenten deduir resultats eliminant una o altra hipòtesis que al final resulta ser necessària.

La fotografia que acompanya aquest escrit està feta a Central Park, Nova York, a una grandiosa escultura d'aram dedicada al conte de Lewis Carrol. El que veis a la fotografia nomes n'és una petita part. En ella podeu veure el conill que Alícia va seguir pel forat que la faria arribar a la terra de les meravelles. El principi d'una història que en llenguatge matemàtic començaria així: "Suposem que existeix un conill que sap llegir les hores a un rellotge analògic..."

La gent pensa que els matemàtics som bojos i potser tenen raó. Som tan bojos com ho pot ser qualsevol poeta.

Això no quadra

Josep L. Pol i Llompart — 2006-01-27T08:00:00Z


Això no quadra

Cases de Sabor, Montuïri.

Sembla que Hipòcrates de Quios intentà resoldre ja al s.V aC el problema de la quadratura del cercle. Es tractava, atès un cercle donat, de construir el quadrat de la mateixa àrea utilitzant només el compàs i el regle d'un sol caire sense graduar. És ben segur que el mateix David Hilbert hauria inclòs aquest problema dins la seva famosa col·lecció de vint reptes matemàtics per al segle XX en la conferència de l'any 1900, si un poquet abans Lindemann (1882) no hagués demostrat la impossibilitat de tal construcció. Fins aleshores, aquesta era la pauta: si algun plantejament no era possible, també s'havia de demostrar. Emperò la lògica formal del segle passat va trencar amb aquest paradigma. Primer, Gödel (1931) demostrà el teorema de la incompleció: hi pot haver veritats dins un sistema axiomàtic que siguin indemostrables. Després, Turing (1935), ho acabà d'arreglar: no es pot saber a priori si una suposada veritat no està demostrada per falta de talent o perquè és indemostrable.

Aucells són qui no van sols,...

Josep L. Pol i Llompart — 2005-12-24T08:00:00Z


Aucells són qui no van sols,...

Son Gotleu, Palma

... ans van tota hora ensems, axí com són coloms e estornells (Ramon Llull).

Ningú no dubtarà mai, mirant el conjunt d'un arbre, si aquella fulla és o no seva. La pregunta deixarà de ser trivial en el moment que ens facin classificar en esbarts disjunts els estornells paralitzats a la imatge: tindrem ara, com a mínim, una sèrie d'elements dubtosos. Si el que volem agrupar en classes són els clústers d'humitat condensada dels núvols, la gent ens començarà a mirar malament. I quan proposem de destriar i classificar els elements que formen el complementari blau de fons, definitivament ens haurem quedat sols. Fins a 1964, la teoria de conjunts dictava que quan un element era caracteritzat, o bé pertanyia a un conjunt, o bé n'estava exclòs. Filla de la teoria de conjunts de G. Cantor, la teoria dels conjunts borrosos creada per l'enginyer azerbaitjanès L. Zadeh ens surt a camí per auxiliar-nos. A partir d'ara, un element podrà pertànyer “una mica” a un conjunt i, alhora, “una mica” a un altre. Per això, la lògica difusa permet escometre el problema de l'ambivalència, tan freqüent en les situacions reals. La subjectivitat o vaguetat no són ara un problema. Des dels treballs primigenis implementats per Zadeh al MIT o a la Universitat de Columbia dels EEUU fins a les modernes rentadores domèstiques, la teoria dels conjunts borrosos en proporciona una eina més per anar superant l'horror vacui del caos.