SBM-XEIX

Arbres proporcionats

Josep L. Pol i Llompart — 2014-04-01T07:29:36Z

Hi ha arbres que segueixen models geomètrics senzills, com és el cas d'aquests arbres de pisos (Araucaria sp.) en què fàcilment els podem adaptar un model cònic, que en la projecció plana de la fotografia podríem anomenar triangular. És així que el traç de les seves branques respecte del tronc principal resulta un símil directe amb el teorema de Tales. És a dir, dins un marges raonables, la raó entre la longitud d'una branca i la longitud de l'eix central des del naixement de la branca fins al cim, és més o menys constant.

Per tant, aquesta constant de proporcionalitat serà, per a cada arbre, la que ens dirà quina és la relació de creixement de les branques respecte de l'eix central. En el nostre cas, és evident que la constant és inferior a 1 i per tant, les branques tenen un creixement més lent que el tronc principal.

Però és que fins i tot, les petites branques de cada branca, tornen presentar un creixement prou proporcional respecte del seu eix secundari, cosa que ens duu a pensar en un model fractal de creixement.

El arbres de creixement cònic, solen estar associats curiosament a moltes espècies de coníferes, que es diuen així no perquè la seva capçada presenti aquesta forma, sinó per la dels seus fruits, és a dir, les pinyes. És el cas de algunes espècies de xiprers, cedres, avets... o fins i tot pins com el de canàries.

Xiprer de capçada cònica

Arc matemàtic

Joana Maria Frau Ferriol — 2013-02-10T13:09:11Z

Aquesta fotografia està feta en el Passeig Mallorca, abans d'arribar a Es Baluard. S'hi pot veure un dels arcs del pont de Sa Riera que hi ha davant es museu, la projecció de la seva ombra a la paret del torrent i el reflex d'aquesta ombra a l'aigua. S'observa com la projecció de l'ombra d'una semicircumferència en un pla no perpendicular és una el·lipse.
Es pot utilitzar aquesta fotografia per tractar els diferents tipus de corbes i les projeccions de l'ombra segons la direcció de la llum i el pla en el que es projecta.

(Article proposat des del Màster de Professorat de Secundària, UIB)

Si el mirall vol

Josep L. Pol i Llompart — 2012-01-31T14:28:01Z

Si el mirall vol, avui les naus enemigues no conqueriran la ciutat. Si el mirall vol, avui la intransigent tirania de la rectitud serà doblegada. Si el mirall vol, avui els extrems llunyans es podran donar la mà quan, per art de màgia geomètrica, la recta esdevingui el·lipse i només ens calgui imaginar què hi ha al darrere. Si el mirall vol, fins i tot les paral·leles es tocaran avui en un infinit més proper. Si el mirall vol, també avui Blancaneu, en seràs la més bella!

Rutlons de tafona

Josep L. Pol i Llompart — 2007-06-17T08:00:58Z

S'Olivaret, Alaró

Entrar en una tafona -encara avui- és com penetrar el sancta sanctorum de les possessions de muntanya. Durant els mesos de tardor i, de vegades fins i tot entrat l'hivern si l'anyada era bona, aquesta estància regalimava vida. Una vida de color entre verd i auri que es guardava com el tresor que era als safaretjos de la botiga de l'oli. Sembla que les tafones són a Mallorca herència directa dels àrabs, tot i que a Menorca, als fonaments de l'ajuntament d'Alaior, s'hi descobriren l'any 1990 les restes d'una tafona romana (que fou destruïda per “necessitats d'espai”).

En una tafona, l'aparell encarregat de moldre l'oliva perquè després pugui ser premsada s'anomena trull. És interessant, des del punt de vista matemàtic, comprovar com han evolucionat els rutlons, aquestes peces tronco-còniques de pedra que a força de rodar i voltar anaven esclafant l'oliva. Ens hem de fixar, per una banda, en l'eix vertical central del trull, anomenat arbre, entorn del qual girava la bístia. Esbiaixat, tenim també l'eix del rutló. Bé idò, és així que en els trulls més antics, l'eix del rutló intersectava l'arbre (l'eix central) a una certa altura. Curiosament, amb la mecanització produïda a finals del s. XIX, els rutlons passen a tenir un aspecte com el de la fotografia. És a dir, l'eix del rutló intersecta l'eix del trull just en la seva base. Es tracta d'una millora?

Doncs efectivament. Si hi dedicau una estona i vos encomaneu a l'amic Thales , veureu que aquesta és l'única manera que totes i cada una de les seccions del rutló voltin sobre el pla del trull sense lliscar. És a dir, que si la circumferència màxima del rutló és 1/r-vegades la circumferència que recorre sobre el pla del trull, la circumferència mínima del rutló també serà 1/r-vegades la circumferència pròpia sobre el pla del trull. Paraula de Milet.

Pada fèrria

Josep L. Pol i Llompart — 2006-10-08T21:22:27Z


Pada fèrria

Ses Salines, Mallorca

Entrant al poble de Ses Salines des de Campos, trobam -a la primera rotonda- la instal·lació d'aquesta escultura d'Horacio Sapere titulada “Pada amb casetes”. Es tracta d'una espiral arquimediana estirada que acaba tenint la forma d'un cornet marí o, altrament dit, pada. Deixant de banda les casetes que completen el treball, és interessant veure el joc de línies que es creen per la intersecció visual de les bandes del davant amb les del darrere i clar, un no pot deixar de pensar en el fet que les corbes generades dins un con reben el nom genèric de còniques. La temptació és quasi d'anomenar-les hipèrboles (o paràboles) però, realment no estam veient una secció plana del con. D'entrada, tal i com hem dit, l'estructura no està composta per anells sinó per una espiral i això fa que realment les línies del darrere estiguin desplaçades mitja volta. De totes maneres, encara que fossin anells, tindrien nom propi aquestes línies aparents? Serien efectivament hipèrboles o paràboles?

També és molt interessant veure el moviment que sorgeix en aquestes línies imaginàries en voltar la rotonda i que podria connectar la instal·lació amb el denominat art cinètic, aquell art emergent dels anys cinquanta i seixanta que juga amb el moviment de l'espectador per crear un moviment aparent en l'obra i que compta amb autors tan emblemàtics com Julio LeParc o Jesús Rafael Soto, del qual tinguérem una exposició a Mallorca no fa molts d'anys.

Recollir flors

Josep L. Pol i Llompart — 2006-03-20T08:00:00Z


Recollir flors

Rotonda de Son Fuster, Son Cladera, Son Castelló. Palma.

Menecme, matemàtic grec del s. IV aC i mestre d'Alexandre Magne, fou el primer que inicià de manera sistemàtica l'estudi de les seccions còniques mentre que Apol·loni de Perge escrigué, un segle després, el primer tractat on es descriuen com a germanes la circumferència, l'el·lipse, la paràbola i la hipèrbola. La germanor de les dues primeres, la circumferència i l'el·lipse, és un fet perfectament assimilat per tothom, fins i tot entre els llecs en matemàtiques. Demaneu sinó, a qualsevol persona, quines figures hi ha a la imatge i veureu com la resposta és unànime: circumferències. Però fixeu-vos que només se'n pot veure una de circumferència (i encara); tota la resta són el·lipses més o manco excèntriques. Sabem, malgrat no en siguem conscients, que la projecció d'una circumferència sobre un pla no paral·lel és sempre una el·lipse.

Mentre feia la foto, un altre cotxe es va aturar, també de manera compromesa a un costat de la rotonda. Baixà una jove i començà a replegar de la vorera un ram de sordonaia, aquesta margalida silvestre de groc intens. Ella també se'n duu circumferències, vaig pensar. I successions de Fibonacci. Al cap i a la fi, dues maneres prou semblants de recollir bellesa.

Cúpula el·líptica

Daniel Ruiz — 2006-03-04T08:00:00Z


Cúpula el·líptica

Museu d'art Contemporani Espanyol, Museu March, Carrer Sant Miquel, Palma

L'el·lipse és una altra de les còniques. El·líptic (o gairebé el·líptic) és el moviment dels planetes entorn al Sol, que sorgeix en solucionar el problema dels n cossos, quan n=2.

En aquesta preciosa cúpula es pot veure la planta el·líptica, i a més, els dos focus que defineixen l'el·lipse. A vegades és millor mirar adalt per entendre millor la realitat del dia a dia...

Hipèrbola de llum

Daniel Ruiz — 2006-03-02T08:00:00Z


Hipèrbola de llum

Nou edifici d'Hisenda, carrer Guillem Massot, Palma

La hipèrbola és una de les còniques més oblidades. Si tallam qualsevol con amb un pla paral·lel a l'eix del con, obtenim una hipèrbola (és una de les infinites maneres d'obtenir hipèrboles).

En el cas de la fotografia, el que surt de la llum emesa des del punt de llum (el focus), amb un pla paral·lel a l'eix (la façana), és una hipèrbola, com es pot veure.

També ho podeu provar a casa, amb qualsevol llum, quan es reflexa a la paret!

Paràboles d'aigua

2006-01-11T08:00:00Z


Paràboles d'aigua

Plaça Santa Maria la Major, Inca

Fins a quin punt els nombres reals modelitzen la realitat? Entre dos nombres reals qualssevol hi ha infinits nombres reals, i això és un fet indiscutible.

Però com es pot veure, ni tan sols la caiguda de l'aigua, que a primera vista ens sembla tan contínua, ho és...

L'aproximació transparent de Pi

Daniel Ruiz — 2005-12-12T08:00:00Z


L'aproximació transparent de Pi

Ca n'Alícia, Biniali

Com podríem aproximar una circumferència? Com podríem trobar la relació entre el radi i la longitud de la circumferència?

Un hexàgon regular des d'enfora s'hi assembla, però molt poc. Un dodecàgon regular una mica més,... i si utilitzam un 96-àgon... això és gairebé una circumferència!

Preguntes i més preguntes que es devia fer Arquimedes, li van dur, emprant una tècnica senzilla, a fer la millor aproximació de del seu temps.

En una circumferència, feim un hexàgon regular inscrit i circumscrit. Ara, cada costat el doblegam en dos, obtenint un dodecàgon regular inscrit i circumscrit a la circumferència... Seguim el mateix procediment, calculant cada vegada la relació entre el radi i la longitud del polígon corresponent. El matemàtic siracusià va arribar a calcular un polígon regular de 96 costats!

El resultat d'aquests càlculs li va donar l'aproximació de següent:

Eureka!

Aquest mètode emprat es diu algorisme d'Arquimedes i es basa en la fórmula recurrent d'Arquimedes (enllaços en anglès).