SBM-XEIX

La gavina de Buffon

Josep L. Pol i Llompart — 2013-04-08T04:09:53Z

Vall de Bàlitx, Sóller

Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon (1707-1788), és un d'aquells personatges la vida del qual bé valdria una novel·la. Un vertader savant (matemàtiques, ciències naturals, cosmologia, literatura...) que segurament contribuí amb la seva empenta a l'aparició de la il·lustració revolucionària. La mateixa que es cobraria el delme amb el seu fill, ja que la cronologia el protegí a ell del tall guillotinador, pel seu títol nobiliari i estimat com era de Lluís XV.

Nascut un set de set-embre de mil set-cents set (el mateix any que Euler), a l'edat de 26 anys plantejà el famós problema de l'agulla que ara porta el seu nom. Aquest problema diu que si anam llançant una agulla de longitud L sobre un sistema de paral·leles separades entre si una distància també L, llavors la freqüència de llançaments que tallin alguna recta se semblarà cada vegada més a 2/Pi. Un resultat molt interessant, que ell mateix demostrà aplicant el joveníssim càlcul diferencial, i que serviria aleshores per fer estimacions del valor de Pi.

El problema més general, modifica aquest resultat amb un factor de proporció entre la longitud de l'agulla i la distància entre rectes (L/D). D'aquesta manera, podem esbrinar si aquest estol de gavines es deixa aplicar el model francès. Afegim-hi una línia més o menys seguint la seqüencia de l'estesa elèctrica.

Comptem ara les gavines-agulla que toquen alguna línia. Surten 11 de 125. En aquest cas, això significa que per una distància mitjana estimada entre línies d'una unitat, la longitud mitjana en l'envergadura de les gavines seria de 0,14 unitats, cosa que encaixa prou bé amb allò observat. Com diria l'amic Anton Aubanell... és que les gavines saben matemàtiques?

Caçada pel teorema de Pólya

Josep L. Pol i Llompart — 2011-05-22T05:42:31Z

Veig, a la mosquitera de la cuina, una abella que ha quedat atrapada entre aquesta quadrícula plàstica i el vidre de la finestra. És una bona ocasió per fer una foto, pens. Quan retorn amb la càmera a la mà, el seu camí brownià l'ha portada rere una de les fustes. Cap problema. Només cal esperar el temps necessari perquè torni a passar pel punt adient i prémer, llavors, el disparador.

Ara fa 90 anys, el 1921, George Pólya enuncià i demostrà el teorema dels passeigs aleatoris. En ell s'explica que si un objecte es desplaça aleatòriament per una recta (passa per passa, endavant o endarrere de forma equiprobable) aquest objecte tornarà a passar necessàriament pel punt de partida.

En dues dimensions, com és el cas d'aquesta pobra abella, el teorema afirma altra vegada el mateix. És a dir, si l'abella escollís aleatòriament i equiprobable una de les quatre direccions possibles d'aquesta trama quadriculada, i ho seguís fent així mateix de punt en punt, retornaria altre cop al punt de partida amb probabilitat u.

Més pelut (o plomut) ho tendrien els ocells joves que sortissin inconscients del niu sense prendre referències. Imaginem-nos una trama cúbica (com deixar de pensar en la pel·lícula Cube?) on cada punt comporta 6 direccions possibles. Llavors el teorema ens fa saber que la probabilitat que l'ocell pogués retornar al niu, escollint aleatòriament la direcció de punt a punt, seria només d'un 0,3405...

Teniu el desenvolupament formal d'aquestes qüestions a l'article de MAT2 de Xavier Bardina.

Per un applet que modelitzi el problema en una dimensió, podeu veure:

http://www.math.uah.edu/stat/applets/RandomWalkExperiment.xhtml

Ciència de la fira II

Josep L. Pol i Llompart — 2008-03-20T00:00:00Z

Fira del Ram, Ciutat

Fira del Ram, Ciutat

El problema de compactar al màxim -de forma periòdica- esferes sobre un pla és un problema trivial. Curiosament en el Ram trobam les que són segurament les dues maneres més clàssiques de distribuir esferes -o cercles- sobre una superfície plana.

Si les bufetes de diàmetre D es tocàssin -cosa que evidentment no interessa als firaires- la cel·la de la primera distribució seria el quadrat que circumscriu, per exemple, un cercle de costat D. La probabilitat que una persona que no sap jugar a dards encertés seria, doncs, la relació d'àrees entre un cercle i el quadrat. El 78,5% aproximadament.

També si les bufetes es tocassin, en el segon cas, la cel·la que podem considerar que es repeteix seria un triangle equilàter que resulta d'unir els tres centres de cercles tangents entre si, de costat D i que contindria tres sisens de circumferència. És a dir, que la probabilitat d'encert en aquest cas correspondria a la relació d'àrees entre mig cercle i el triangle equilàter, cosa que la faria pujar fins una mica més del 90,5%.

Per a aquests casos en concret, hem calculat la relació real d'àrees i ens ha sortit una probabilitat d'encert per un llançament "cec" del 56% en el primer cas i d'una mica més del 60% en el segon cas.

Un osset de peluix? Facin joc senyores i senyors!

Tres espirals germanes

Josep L. Pol i Llompart — 2008-03-02T12:10:47Z

Aquest matí, mentre granava la carrera de casa, m'he topat amb els habituals milpeus que cerquen la humitat i s'amaguen de la llum sota les fulles o cossiols. Aquests miriàpodes de nom científic Tachypodiulus niger i que jo conec amb el nom de cuques de Manacor, encara que no ho he pogut confirmar a les pàgines del diccionari Alcover-Moll, tenen dues estratègies per defensar-se: amollar un líquid groc fètid i revoltillar-se sense moure's.

En el cas d'aquest tres individus, hom pot observar que els tres prenen la direcció de llur espiral -aproximadament- arquimediana en el sentit creixent de les busques del rellotge. La pregunta que se'ns presenta és si es tracta d'un comportament genètic propi de l'especie o només ha estat casualitat. No n'he mirat d'altres i per tant, la probabilitat d'errar-se en afirmar que aquesta espècie sempre forma una espiral dextrogira es podria assimilar a la probabilitat que en llançar tres monedes les tres presentin creu. És a dir, que la coincidència de les espirals que hem trobat hagi estat fruit només de l'atzar. Si partim d'un espai de successos equiprobables que ens permeti aplicar la llei de Laplace, tendríem, en el cas de les monedes:

ccc, ccx, cxc, xcc, cxx, xcx, xxc, xxx

Una probabilitat d'una entre vuit. Si en comptes de cara o creu, pensam en dreta o esquerra, tindrem exactament el mateix cas. Evidentment la mostra és molt petita per fer-ne una afirmació categòrica i per tant, caldrà seguir observant.

La probabilitat nul·la (NY01)

Daniel Ruiz, Mònica Flaquer — 2008-01-12T00:00:00Z

Districte financer, New York

En teoria de la probabilitat, a un succés impossible que succeeixi se li assigna la probabilitat zero. O, per als més puristes, el conjunt del succés té mesura de probabilitat nul·la.

Per exemple, si tiram un cub amb totes les cares iguals, com podria ser un dau, quina seria la probabilitat que quedàs com en aquesta fotografia?

El joc de la baldufa jueva

Josep L. Pol i Llompart — 2006-08-15T08:00:00Z


El joc de la baldufa jueva

La botiga de Sefarad, ciutat vella de Girona

Totes les cultures han tingut un espai per als jocs d'atzar. A la imatge podem veure una baldufa jueva (perniola en sefardí, dreidel en yiddish). Es tracta d'un “dau” de cuatre cares amb una lletra hebrea en cada una d'elles.

1. Els jugadors s'asseuen en rotllo entorn d'una superfície plana on la baldufa pugui girar amb facilitat.

2. Cada jugador comença amb 15 monedes. Inicialment, cada un en diposita una al munt de sobre la taula.

3. El joc comença per un jugador qualsevol i segueix en el sentit de les busques d'un rellotge.

4. Segons com quedi la baldufa es fa el següent:

Shin (col·locar): el jugador col·loca una altra moneda sobre la taula.


El joc de la baldufa jueva

Nun (res): el jugador no fa res.


El joc de la baldufa jueva

Guimel (tot): el jugador pren tot el que hi ha al mig. Llavors, abans de seguir, cada jugador torna a dipositar una moneda sobre la taula.


El joc de la baldufa jueva

Hey (meitat): el jugador pren la meitat del que hi ha al mig. Si la quantitat de monedes és senar, llavors pren la “meitat grossa”.


El joc de la baldufa jueva

5. El joc acaba quan un jugador ho guanya tot.

Les lletres a cada costat de la baldufa es refereixen al miracle de Janucà i corresponen a les inicials de Nes Gadol Haya Sham: un gran miracle ocorregué allí.

Evidentment la probabilitat de guanyar és trivial però, quant de temps pot durar una partida? Ha d'acabar necessariament? Quina seria la probabilitat d'acabar en menys de cent partides? Depèn tot això del nombre de jugadors? Influeix qui comença en la probabilitat de guanyar?

Ludere nescis

Josep L. Pol i Llompart — 2006-04-10T08:00:00Z


Ludere nescis

Sa Cabaneta, Marratxí.

Ludere nescis: perdis ploras, vincis gaudes (jugar és de necis: si perds plores, si guanyes gaudeixes). El primer dau conegut en la història de la humanitat data del tercer mil·lenni abans de Crist i fou trobat a la antiga Mesopotàmia, actual Iraq. Els àrabs, foren així mateix afeccionats jugadors que estampaven una de les cares del cub juganer amb el dibuix d'una flor de taronger. D'aquí, que una de les maneres d'anomenar el fet d'un succés no predictible sigui atzar, de l'àrab az-zahr. Hom cita els grans Cardano, Pascal i Fermat com els creadors d'una nova disciplina matemàtica concentrada en l'estudi d'allò atzarós, però les eines necessàries havien sigut estudiades segles abans per lo beat Ramon Llull en la seva obra Ars Magna Combinatoria. “L'atzar és la mesura de la nostra ignorància” afirmava Henri Poincaré, , abrigat pel corrent determinista de finals del XIX. Segons això, tot obeeix a lleis naturals, només que quan el panorama és massa complex per a la nostra capacitat, llavors parlem d'atzar. Aquesta visió s'havia de trastocar profundament a principis del XX quan Heinsenberg anuncià el principi de la Incertesa en el si de la mecànica quàntica, o Gödel el de la Incompletitud en el si de la lògica matemàtica.