SBM-XEIX

Topologia estiuenca

Josep L. Pol i Llompart — 2014-08-17T04:58:20Z

Les primeres pluges d'estiu han deixat aquest paisatge al cossiol de fulles (Aspidistra elatior) del costat de la cisterna. Cada gota reflecteix, a la seva manera, el camp visual que inclou el fotògraf, les fulles adjacents i el coll de la cisterna. Aquestes deformacions, que òpticament podem anomenar anamorfosis, conviden a la creativitat.

En el camp de la topologia, totes aquestes superfícies en blanc i verd de cada gota podrien considerar-se equivalents (homeomorfes) sempre i quan no hi hagi trencaments, només deformacions. Aquí teniu una selecció per si algú s'hi vol distreure una mica.

En el camp de la música, trobaríem un cert equivalent en la forma de les Variacions, que són aquelles composicions que prenen un tema musical i el van modificant tant melòdicament com rítmica, però sempre amb una base harmònica més o manco reconeixible. Són famosos els casos de les variacions Goldberg per a clave de Bach o les variacions Diabelli per a piano de Beethoven.

Möebius i Bach

Josep L. Pol i Llompart — 2012-01-10T06:57:00Z

Passejant pel carrer dels Oms a Ciutat, trob en el mostrador d'una botiga de decoració aquesta entremaliadura musical i me'n tem que es tracta d'un piano-pentagrama moèbic!

És curiós que la -ara ben famosa- banda de Möbius no fos descoberta fins el 1858 i, justament aquest any, ho fessin dues persones simultàniament. A més d'August Ferdinand Möbius, ho feu també el teutó Johann Benedict Listing. Sembla, emperò, que Möbius li donà més voltes... De fet, segons el MacTutor de la Universitat escocesa de Saint Andrews, els estudis de Möbius sobre la seva banda foren descoberts pòstumament.

Jos Leys ha fet una combinació ben reeixida d'aquesta banda i l'Ofrena Musical de Bach al youtube, possiblement inspirada en el magnífic llibre de Douglas Hoftstadter "Gödel, Escher i Bach". I és que en parlar de música i matemàtiques, no podem defugir mai el geni de Bach. Per alguna cosa deia Beethoven que encara que Bach en alemany signifiqui rierol, hauria de significar oceà!

Si voleu gaudir d'un bon enregistrament d'aquesta Ofrena Musical, teniu el que va fer Jordi Savall amb Le Concert des Nations al seu segell Alia Vox.

Esmorzar geomètric

Josep L. Pol i Llompart — 2010-04-18T09:31:56Z

Estació Intermodal, Palma

Aquell matí duia el dia damunt, estava bastant endormissat, de manera que vaig optar per entrar a la cafeteria i mirar de carregar piles.

- Bon dia.

- Bon dia, en què el puc servir?

- Voldria qualque cosa per berenar.

- Li puc oferir aquests quadrats descomposts en vuit triangles rectangles isòsceles. Una preciosa partició a la tercera potència de dos.

- Com diu?

- Res, això, uns pastissets de fulls amb espinats i pollastre. Que si s'ho estima més, també tenim l'altre polígon regular que tessel·la el pla euclidià amb unes magnífiques i pregones apotemes.

- Perdoni?

- Això que li dic, petites empanades gallegues. O tal volta preferiria, el senyor, la panada arquimediana pel mètode d'exhausció?

- Miri, posi'm un donut i un suc de taronja, que no estic per berbes.

- Marxant un torus pentinat a l'estil Hopf-Poincaré i unes homeomorfes 3-esferes sucades...

- Avui faré tard. Aquest ditxós despertador s'ha tornat a aturar.

Arracades esquerranes

Daniel Ruiz — 2010-04-12T15:31:16Z

Continuant amb la mirada nuada anterior, fins i tot la moda utilitza els nusos per oferir noves creacions. I amb aquestes podem parlar del nus més simple de tots: el nus trèvol, protagonista també de la mirada anterior.

Però si ens hi fixam, podem trobar una diferència entre els nusos de la mirada anterior i aquestes arracades...

El nus trèvol té una propietat important: la quiralitat. Es poden distingir dues versions: l'esquerrà (la imatge de l'esquerra) i el dretà (la imatge de la dreta). No es pot fer una transformació contínua d'un per aconseguir l'altre, són topològicament no isotòpics. És a dir, per molt que moguem els braços del nus, no podem passar d'una versió a una altra a no ser que tallem per qualque banda.

Per tant, els dos nusos de la mirada anterior són trèvols dretans, i aquestes dues arracades nuades són trèvols esquerrans: un contrapunt interessant... iguals però diferents!

Fins i tot M.C. Escher va dibuixar nusos trèvols:

Knots, extret de la web oficial de M.C. Escher

Una rotonda nuada

Josep L. Pol i Llompart — 2010-04-11T02:27:01Z

Els nusos són uns elements prou interessants on conflueixen la vida quotidiana (muntanya, marines, agricultura, art...), la recerca en àrees punteres (genètica, mecànica quàntica) i les matemàtiques. Sembla que el model de Lord Kelvin en què descrivia els àtoms com a petits tubs nuats entre si, portà Peter Tait, també escocès, a classificar "tots" els nusos possibles a finals del s. XIX.

Aquest, el de la classificació o, més ben dit encara, el de la caracterització dels nusos és un problema encara obert quan aquests són prou grans. Si tenim en compte que en la teoria matemàtica de nusos, una vegada fets aquests s'han de "soldar" o afegir els dos caps, podem parlar de nusos en funció del nombre de encreuaments que produeixen una vegada posats convenientment sobre un pla.

D'aquesta manera, el nus més simple possible, que en les arts pesqueres s'anomena pla, seria el que produeix només tres encreuaments com el que representa l'escultura de Ben Jakober i Yannick Vu a la rotonda del port d'Alcúdia (Nus de Leonardo, juliol de 1997). Aquest mateix nus és emprat amb certa freqüència en alguns logos empresarials.

Només existeix un nus de tres encreuaments, un de quatre, dos de cinc, tres de sis, 7 de set, 17 de vuit, 49 de nou, 249 de 10 i quasi dos milions de possibilitats quan només ens enfilam a 16 encreuaments.

Per a una primera aproximació rigorosa a aquest món apassionant, podeu accedir al treball de carrera que els companys de l'SBM-XEIX Toni Buades, Biel Frontera, Jaume Perelló i Dani Ruiz penjaren a Mallorcaweb fa alguns anys.

Constel·lacions aquoses

Josep L. Pol i Llompart — 2009-01-31T14:30:21Z

Després de llegir el còmic de Raule i Saurí i havent contemplat el regal d'aquestes gotes de pluja sobre la cera d'una fulla del corral, em ve al cap la història de la demostració de la conjectura de geometrització de Thurston per Grigori Perelman, un cas particular de la qual convertia també en teorema el que havia estat durant noranta-nou anys la conjectura de Poincaré.

Més grosses o més petites, més lluentes o més fosques, però totes igualment compactes, orientables i simplement connexes, aquestes efímeres 2-esferes del nostre estimat espai 3-dimensional bé mereixerien portar els noms -ara ja perdurables- de Poincaré, Thurston, Hamilton, Perelman i tants d'altres que han obert camí a l'univers n-dimensional del pensament humà amb l'art de les matemàtiques.

Esferes d'aigua que han concentrat durant un segle la llum del coneixement en topologia. Gotes de pluja homeomorfes també, emperò, amb les llàgrimes que poden lliscar quan pensam que d'ençà de la primavera de 2003 Perelman no ha tornat a l'Institut Steklov. Els seus amics afirmen que ha abandonat definitivament les matemàtiques.

Bolles descambuixades

Josep L. Pol i Llompart — 2006-12-17T11:46:49Z

Es Caragol, ses Salines

L'esfera és una de les formes naturals més suggerents i estimulants. A la cara oculta d'una esfera sempre s'hi estotja una història de temps. Temps amb majúscules per al cas dels cossos celests. Temps gairebé geològic per als còdols de platja. Temps molt més humanitzat en el cas d'aquestes bolles de posidònia. Les onades i el vent han esquinçat i fet rodolar les fibres d'aquesta mal anomenada alga (realment Posidonia oceanica) fins a congriar aquestes pilotes descambuixades. Perquè, tanmateix, aconseguir pentinar de forma homogènia i contínua la seva cabellera sense deixar-hi cap punt amb reganyol ni coronell, ja no és una qüestió de temps. És, per imperatiu topològic de continuïtat, impossible. Així ho afirma el teorema de Hopf-Poincaré. Podeu consultar una descripció més detallada en anglès de la mà de Piotr Hajlasz, o bé consultar la traducció catalana que en ocasió dels 25 anys de matemàtiques a la revista Delta varen editar fa un parell d'anys Francesc Rosselló, Llorenç Valverde i Wiktor Bartol amb el nom de Llet d'Ocellet Matemàtica (ed. Belladona). Descobrireu que per aquests redols també hi passeja l'omnipresent Euler.

PS: Ara que no em llegeix ningú, pensant en l'enunciat d'aquest teorema i sense perdre l'esperança de quadrar el cercle, he arribat a trobar fins a dues solucions per pentinar l'esfera evitant els punts singulars però tinc por de deixar algú amb els cabells drets i tanmateix, com diu el refrany castellà, d'aquí a cent anys tots calbs.

La trama discreta

Guillem Àngel Llabrés — 2006-03-24T08:00:00Z

Sabem que donada una aplicació ,

on si i si
, aquesta és una mètrica, anomenada discreta. Aleshores donat un conjunt i una mètrica , direm que és un espai mètric. A aquest espai mètric podem aplicar-hi una topologia, la qual direm que és la topologia discreta.

Els oberts i tancats per aquesta topologia són els singletons , els quals són punts aïllats.


La trama discreta

Aquest espai topològic no és connex però en canvi, si que ho són cada un dels seus singletons. A més a més, tot espai discret és localment connex, perquè cada punt de hi té una base d'entorns connexos: la formada pel singletó .

Com podem observar a les fotografies adjuntes (finca de Son Bordils, Inca), són parcel·les tancades, amb la qual cosa tenim que és un espai finit. Aleshores tenim que l'espai discret és compacte.


La trama discreta

A part de tot això, l'espai discret associat a la mètrica discreta és un espai topològic el més separat possible. Això és, compleix que és T0, T1, T2, T3, T4. Aquesta denominació amb la lletra T i un subíndex, prové de Trennung, separació en alemany.

Els ponts de Königsberg

Josep L. Pol i Llompart — 2006-03-16T08:00:00Z


Els ponts de Königsberg

Facultat de Matemàtiques de la Complutense, Madrid.

Al rebedor de la facultat de matemàtiques de la Universitat Complutense de Madrid, trobam aquesta escultura en ferro de Vaquero Turcios, d'una mica més de dos metres d'alçada, que duu per títol “Homenatge a Euler” (1992). Al costat hi ha una placa que diu:

"A la ciutat de Königsberg, Prússia, hi ha una illa anomenada Kneiphof, enrevoltada per dos braços del riu Pregel. Hi ha set ponts que travessen els braços dels rius. La qüestió consisteix en determinar si una persona pot fer una passejada de tal manera que passi per cada un dels ponts una sola vegada. Mentre uns negaven la possibilitat de realitzar-ho, altres ho dubtaven, però ningú no sostenia que fos realment possible."

Leonhard Euler (1736).

Aquest problema que Euler resolgué amb gran enginy, donà lloc al desenvolupament de la topologia.

L'ull de Klein

Josep L. Pol i Llompart — 2006-01-13T08:00:00Z


L'ull de Klein

Can Pepito, Sa Cabaneta

Què hi ha vertaderament rera el vidre d'un mirall? Res? Tot? Ens enganya el mirall o són els sentits els que ens menteixen? O potser ambdós ens diuen la veritat? Per què no hi ha pel·lícula fantàstica en què no es faci servir la màgia dels miralls? Davant o darrere? Llevem-li ara una dimensió. Una corba simple (que no s'intersecti a ella mateixa) i tancada dibuixada en un pla, divideix els punts d'aquest en dos dominis: dins i fora. Heus ací una dualitat que sembla -també- d'allò més fàcil i intuïtiu. És curiós, emperò, que s'hagués d'esperar fins al segle XIX per tenir una demostració rigorosa en el camp de l'anàlisi matemàtica de la mà de Camille Jordan (1838-1922). Per cert, complicadíssima i, a sobre, invalidada temps després. Cosa passa, idò. Damunt-davall, dins-fora, bandes de Möbius, botelles de Klein... tot un món màgic i apassionant per l'ull que ho sap veure i el cap que ho sap copsar. On és la càmera que ha tret la fotografia de la cisterna? Ara dins i abans fora? Sempre fora? Dins per sempre més? De qui és aquest ull immens que ens fitora?