SBM-XEIX

Horus versus Vuitton

Josep L. Pol i Llompart — 2014-07-26T09:00:46Z

Ginza Itchome, Tòquio

Al carrer de Ginza Itchome de Tòquio, a la zona comercial diguem-ne bona, hi trobam aquests dos edificis separats uns tres-cents metres i un a cada banda de carrer. L'ull d'Horus és ben conegut a les matemàtiques egípcies, ja que cada una de les seves parts representen les potències naturals successives d'un mig. 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 i 1/64. El mateix Alan Parsons marcava aquestes relacions al seu famosíssim disc eye in the sky.

A l'altre costat, els dissenyadors de la finca que allotja la marca Louis Vuitton, s'han inspirat precisament en aquesta seqüència (si ho han fet conscientment o no és farina d'un altre sostre). Qui guanya a qui? Doncs només hem de comptar quantes vegades els arquitectes han decidit dividir per dos el costat del quadrat més gran.

Si ho feis veureu que el falcó vola més alt... Què hagués passat amb l'edifici de moda si s'hagués hagut de tenir una altra divisió? Quans quadrats grans bastarien per recobrir la façana principal de l'edifici i, en canvi, quants de petits se'n necessitarien?

Conillons amagats en el geoplà

Josep L. Pol i Llompart — 2014-04-06T13:54:57Z

Vinya nova a Santa Maria

Jugar a conillons amagats és un dels clàssics dels jocs d'infants a tot arreu (encara que actualment la gent s'entesti a dir-li pilla-pilla).

Una versió prou original seria aquella de col·locar qui ho duu a l'origen de coordenades en una vinya on tots els punts de coordenades enteres estan ocupats per un pal. La pregunta és: quins són els pals que veu i quins estaran tapats per a l'observador original?

Si hi jugam una mica, podem prendre el Geogebra i pintar de vermell els punts que quedarien ocults per algun altre punt. D'aqueta manera s'aniran observant regularitats molt interessants. Per exemple: els punts de la recta y=1 (o igualment els de x=1) seran tots de color blau, mentre que els punts de la recta y=2 (o x=2) estaran alternats de color. Què passarà amb els punts de y=3? i y=n? Quina relació hi ha d'haver entre les coordenades d'un punt perquè sigui o no visible?

I encara podríem pensar si hi haurà alguna direcció en què la visual no toparà amb cap punt. (Una altra ocasió perfecte per parlar de proporcionalitat i de nombres irracionals.) De fet n'hi haurà infinites, tantes com nombres irracionals representin el pendent de la mirada de l'observador.

Aquestes idees magnífiques de poder relacionar una graella entera amb fraccions irreductibles, nombres irracionals i altres conceptes, les podeu trobar al llibre de Tony Crilly 50 cosas que hay que saber sobre Matemáticas de l'editorial Ariel.

En Pere Calafat, del celler santamarier Jaume de Puntiró, ens explica que les diagonals de ceps alineats, tan visibles quan un passa amb la bicicleta o amb el cotxe vora una vinya, tenen nom propi. Una descoberta que li agraïm de tot cor. Així, els eixos de la graella s'anomenen tires (tira de per llarg i tira de per curt si la quadrícula és rectangular no quadrada). La diagonal principal s'anomena llobina. Entre la tira i la llobina, hi veurem el llobinó. I entre la tira i el llobinó el contrallobinó. Vertadera cultura matemàtica popular!

Les fraccions del cel

Josep L. Pol i Llompart — 2010-08-12T04:00:00Z

Port de sa Ràpita, Campos

El manual d'estil del Servei Meteorològic de Catalunya defineix l'estat del cel per l'aspecte que ofereix en funció de la presència o absència de nuvolositat. Curiosament, les categories s'estableixen a partir dels vuitens de cel cobert per núvols, segurament per allò d'anar dividint el cel en meitats consecutives. Així tenim:

1.- Cel serè o ras: 0 vuitens de cel tapat

2.- Cel poc ennuvolat: entre 1 i 2 vuitens de cel tapat

3.- Cel mig ennuvolat: entre 3 i 5 vuitens de cel tapat

4.- Cel molt ennuvolat: entre 6 i 7 vuitens de cel tapat

5.- Cel cobert o tapat: 8 vuitens de cel tapat

Certament i a jutjar per la finestra de l'objectiu, aquest dia de setembre de 2009 hi havia un cel -pel cap baix- molt ennuvolat. Tant, que vàrem haver de córrer!

Geoplà vitivinícola

Josep L. Pol i Llompart — 2008-04-23T02:00:00Z

Santa Maria del Camí

Sembla que Pitàgores descobrí el fet que els intervals harmónics, els que sonen bé a l'oïda, eren sons que tenen una relació senzilla d'enters entre les seves freqüències o -en aquell cas- entre les longituds de les cordes que els produeixen.

En el cas d'aquest geoplà de ceps, podríem dir que les línies harmòniques, les que es veuen bé, també compleixen aquesta propietat. Sigui el punt (0,0) el cep central de més a prop. Sigui el sentit positiu de les X el que marquen els tres ceps més propers del centre-dreta. I sigui el sentit positiu de les Y el que marquen els dos ceps més propers del centre-esquerra (això ja no és tan evident per mor de la projecció del terreny sobre la placa fotosensible de la màquina).

Així les coses, les línies que es veuen bé són, a part dels eixos, la bisectriu del primer quadrant de relació 1:1, i la recta que parteix del cep (1,0) y=1/2 x - 1/2
(o la seva paral·lela a l'esquerra encara prou evident y=1/2 x) de relació 1:2.

La llei dels índexs racionals

Josep L. Pol i Llompart — 2008-02-09T15:44:00Z

Serra d'Albercutx, Pollença

Fullejant les pàgines del volum de geologia de la Història Natural de l'Institut Gallach (publicada el 1973 a Barcelona), a casa del meu padrí jove, vaig trobar la cita que segueix:

“Segons la teoria de Haüy, qualsevol cristall pot suposar-se originat per derivació d'una forma fonamental (representació de la seva molècula integrant), les arestes del qual es consideren en magnitud i direcció com els tres paràmetres unitat. Qualsevol altra cara ve fixada, pel que fa a la seva posició, pels seus paràmetres, que es poden posar en funció dels fonamentals; observà Haüy que els nombres que expressen dita relació, anomenats índexs, són sempre racionals i en general d'expressió senzilla.”

Aquesta afirmació es coneix com la llei dels índexs racionals i fou establerta el 1801 per Renè Just Haüy (1743-1822). Reconec que al principi em va costar entendre què volia dir, però a l'empara de la perspectiva històrica de la investigació química és quan aquesta teoria cobra sentit. Efectivament, en virtut del principi d'indeterminació que enuncià Heisenberg l'any 1927, sabem que és impossible definir exactament la posició i velocitat d'una partícula en un instant determinat. Això vol dir, de manera efectiva, que no podem definir les voreres d'un objecte. No podem dir que un objecte acaba exactament "aquí". De fet per això mateix, avui en dia, no té cap sentit cercar la longitud d'un objecte petit amb una precisió més enllà de sis o set ordres de magnitud. Per tant, el bot fins a un quocient que es discerneix com a racional és un salt en el buit. Es va equivocar idò Haüy? No exactament. El que passa és que Haüy utilitza un llenguatge matemàtic (el llenguatge de la natura) per reforçar la seva afirmació que els cristalls estan compostos per partícules, àtoms i molècules, ordenats segons una cel·la fonamental i originats per repetició d'aquesta, cosa que en aquells moments no estava del tot definida. En el marc d'aquest primer model, evidentment, d'això se'n deriva que si un cristall posseeix n-cel·les i un altre en posseeix m, la seva relació produirà necessàriament un quocient racional. Teories i estudis com aquest culminarien l'any 1808 (i enguany, per tant, també se'n celebra el 200 aniversari) quan John Dalton publicaria A New System of Chemical Philosophy, Part I, vertader referent de la química moderna. Som davant el primer model geomètric sòlid per a l'estructura íntima de la matèria tot i que, lluny del s. XX einstenià, encara pensa els àtoms com a bolletes quietes i perfectament ordenades de matèria discreta.

La geometria de la música

Josep L. Pol i Llompart — 2006-12-11T10:32:46Z

Catedral de Santiago de Compostela, Galícia

Quan Arquites de Tarent definí el quadrivium, posà –ben encertadament- la música en el mateix sac que l'aritmètica, la geometria i l'astronomia. Pitàgores ja estudià els intervals musicals i descobrí que aquests seguien proporcions senzilles de nombres enters. Així, la relació entre les freqüències d'un do i el següent do en l'escala musical és de 1/2 mentre que la relació entre un do i la nota sol és de 2/3. L'escala emprada actualment, dita temperada, divideix els dotze intervals o semitons d'una escala completa de tal manera que sempre, la relació de freqüències entre una nota i la immediatament anterior és de 2 elevat a 1/12. Una preciosa progressió geomètrica com la que ens recorden els tubs d'aquest magnífic orgue doble de la catedral de Santiago, tot i que només ho seria exactament si tots els tubs tinguessin el mateix diàmetre i el mateix gruix en la xapa de plom. Ja ho deia el filòsof G. Santayana (1863-1952): si totes les arts aspiren a ser com la música, totes les ciències aspiren a ser com les matemàtiques.