SBM-XEIX

Més enllà del seny

Josep L. Pol i Llompart — 2013-11-27T13:08:00Z

S'Albufera, Alcúdia i Muro

La simetria és sinònim d'equilibri. Mirau sinó la barrera d'aquest portell feta amb barres d'ullastre. De jove pensava en la feinada per trobar dues branques amb la mateixa curvatura fins que algú em descobrí el secret. Simplement es tracta de trobar branques corbades sobre un pla i xapar-les per la meitat. L'efecte és preciós i el fuster hi ha situat dues ics que, convenient desplaçades, es podrien transformar en dues aleph.

Però són realment simètriques les barres? El fet de tallar les branques per la meitat amb una serra fa que s'elimini un cert gruix de fusta entre els dos plans i, per tant, la cara d'un costat no ha estat mai realment en contacte amb la cara de l'altre costat. És a dir, que no, no són perfectament simètriques. Llavors, un pot pensar en el procés matemàtic d'anar disminuint la gruixa de la serra fins a límit zero. Seria una mica com la successió d'intervals de plans encaixats. Anar acostant un a l'altre, sempre més a prop... però mai junts.

Els viatges per l'univers dels infinits són perillosos tot i que possibles. Necessiten algú com Georg Cantor (To touch the sky, a dreamer must be, someone who has more imagination than me..., Inside looking out). Algú sense por d'anar més enllà d'allò establert, més enllà... del seny.

Cantor demostrà el 1877 en una carta a Dedekind que es podia establir una bijecció entre els punts de l'interval unitat i tots els punts d'un espai p-dimensional (ni jo mateix m'ho puc creure, digué). És a dir, que el petit espai de matèria que elimina la serra en una branca potser emparellat amb tots els punts de l'univers. Potser per això, aquesta petitíssima unitat de matèria autoconscient que som les persones és tan potent que és capaç d'imaginar l'infinit temporal de l'univers que ens acull. No és això, d'alguna manera, participar de l'eternitat? Qui necessita Déu llavors? Com deia Hilbert, ja ningú no ens podrà fer fora del paradís (que Cantor ha) creat.

Penrose a Santa Maria de Maó

Daniel Ruiz, Josep L. Pol i Llompart — 2010-11-23T03:02:34Z

Església de Santa Maria, Maó, Menorca

Rombes per tot arreu. Estrelles de cinc puntes que apareixen, desapareixen i tornen aparèixer, però mai envoltades per la mateixa situació. Aquest és el nou trespol que els arquitectes responsables de la reforma de Santa Maria de Maó han escollit per a un temple que alberga un dels millors orgues històrics de les Illes Balears. El seu rector, mossèn Josep Manguán, ens explicà que la idea d'aquesta tessel·lació és la de fer una al·legoria de la globalització. Dues peces iguals per tot arreu, però cadascuna en una situació particular única i irrepetible.

Es tracta d'un dels enrajolats dissenyats per Roger Penrose. Format per dues peces elementals ben senzilles, dos rombes, un de gruixat i un de prim, la principal característica d'aquesta combinació és la seva aperiodicitat. En efecte, la gràcia d'aquesta combinació rau en què té un eix de simetria i un eix de rotació d'ordre cinc però no es pot generar per repetició de cap cel·la base. Per això s'anomena quasicristall.

El fet és que amb aquests dos rombes es poden construir tesel·lacions periòdiques senzilles, però per construir el de Penrose, a cada un dels costats d'aquests dos rombes es marca una orientació de manera que quan s'ajuntin dos d'ells aquestes orientacions coincideixin. Seguint un procés minuciós es podrà obtenir una tesel·lació completa del pla de forma aperiòdica.

Per a una manipulació virtual d'aquestes tesel·lacions es pot visitar l'applet de David Austin. En aquest s'ha de marcar el costat al que es vol afegir un rombe, de manera que encaixi en la orientació adequada. Una altra manipulació és al New P3 de l'applet de Craig S. Kaplan.

A partir d'ara haurem d'afegir la visita a aquesta església dins les guies turístiques matemàtiques. Una vertadera novetat aperiòdica dins un món periòdic...

(En la fotografia, s'ha modificat la intensitat de color dels rombes per distingir-los més fàcilment. A la realitat, totes les peces estan elaborades amb marbre blanc Macael de les pedreres d'aquest poble d'Almeria)

Ritme turístic

Josep L. Pol i Llompart — 2010-08-17T01:18:00Z

S'Estany den Mas, Manacor

Quan, mirada com un pla, alguna cosa es va repetint seguint un ritme, l'anomenam grup de simetria. Amb els moviments de translació (anar-la canviant de lloc amb una distància constant), rotació (segons un angle 360º/n amb un eix perpendicular al pla), o simetries (ja siguin amb lliscament o sense) podem aconseguir 17 grups de simetria. No n'hi ha pus.

El grup més senzill, notat com "p1" és aquell que només conté translacions segons dues direccions no necessàriament perpendiculars. D'aquesta manera, la cel·la unitat que es va repetint es pot emmarcar en un paral·lelogram. No per senzill deixa de ser vistós.

Evidentment, els grups de simetria tenen el seu paradís en les decoracions que al llarg de la història han anat elaborant les persones (d'aquí la denominació anglesa de wallpaper groups). La primera civilització de què es té constància que els fes servir tots és la egípcia. El professor Rafael Pérez Gómez descobrí que a l'Alhambra també hi són tots, de la mateixa manera que al conjunt mudèjar aragonès.

Per una classificació i caracterització completa, podeu consultar l'article anglès de la viquipèdia wallpaper group.

El gat d'Schrödinger

Josep L. Pol i Llompart — 2009-07-16T00:00:00Z

Restaurant ses Porxeres, Bunyola

Llegit des del paradigma d'un català estàndard, el títol d'aquest article pot fer referència a l'animal domèstic -el Felis catus- que emprà com a recurs per a la seva paradoxa Erwin Schrödinger. Però també es pot interpretar, des de la varietat dialectal mallorquina, com la síndrome etílica que podria haver agafat un dels millors científics del segle XX si hagués ingerit el contingut de les dues botelles de cava de la fotografia (i perdonau l'anacronisme). Resulta, emperò, que un dels possibles efectes d'anar gat, o moix, és el de la visió doble, cosa que té molt a veure amb la paradoxa esmentada. Anem a pams.

La paradoxa coneguda com el gat d'Schrödinger és un experiment mental i fou formulada en l'àmbit de la mecànica quàntica devers el 1935. El tema ha fet vessar rius de tinta i ha copsat l'interès de la majoria de grans pensadors de la talla de R. Penrose o S. Hawking.

La paradoxa parteix del postulat quàntic que l'estat d'una partícula subatòmica (i per tant, susceptible de ser tractada com una ona) es pot definir per superposició lineal de diferents estats (equacions), cosa que amb el model probabilístic a la mà, es pot interpretar estrictament com que una mateixa partícula pot ser a diferents llocs alhora (mentre no la interferim amb una mesura = col·lapse). A l'experiment, Schrödinger genera una espècie de correspondència entre els dos estats possibles d'una partícula subatòmica i els d'un gat, a saber, viu o mort. Però pot un gat estar viu i mort alhora? Per un primer tast d'aquesta paradoxa podeu veure aquest vídeo o llegir el magnífic (i dens) llibre de Ramon Lapiedra Els dèficits de la realitat i la creació del món, publicat el 2004 per la Universitat de València.

Talment la imatge de les dues botelles, que semblen respectar la simetria fins i tot en el reflex, per devers Milano hem trobat un altre estat d'ona coherent amb aquesta secció de mirada matemàtica: Images for mathematics La nostra partícula bessona?

Simetria a la Seu

Daniel Ruiz — 2007-09-15T01:16:46Z


Simetria a la Seu

Façana de Ponent de la Seu, Ciutat

La simetria és un dels recursos arquitectònics més emprats. Aquesta transformació geomètrica ens dóna sensació d'equilibri i harmonia.

I per què? Potser perquè la podem trobar per tot, la majoria d'animals i plantes tenen elements simètrics, fins i tot nosaltres mateixos som simètrics, només a l'exterior. També podria ser per la simplicitat de les formes simètriques: a partir d'un element, es pot construir tota la resta de la forma. O simplement, perquè les formes simètriques solen ser crear en l'ull humà allò que es diu sentiment de bellesa. És ben comprensible, doncs, que durant molt de temps s'hagi utilitzat la simetria com a patró de bellesa en l'arquitectura.

A la foto podem veure-hi la simetria d'una de les torres (criticades fins i tot avui en dia) de la Façana de Ponent de la Seu de Mallorca, que fou reconstruïda devers l'any 1860, després que l'anterior s'esquinçàs a causa d'un terratrèmol al 1851. Aquesta façana neogòtica fou dissenyada per
Jean Baptiste Peyronet. A les següents imatges podem trobar com era aquesta façana des del segle XVI fins al 1851 i just després d'aquest ensurt.

Per saber més:

Paraíso Balear. Lloc amb moltes fotos antigues de Palma.
Article impressionant de la Seu a la Viquipèdia en català.
Symmetry in architecture, article sobre la simetria en l'arquitectura.
Mathematics in Art and Architecture, molt recomanable.