SBM-XEIX

El recompte del temps i el DCVB

Josep L. Pol i Llompart — 2012-01-01T00:55:00Z

El recompte del temps és, segurament, una de les activitats més atàviques de l'ésser humà. I també, lògicament, un dels motors primigenis de les matemàtiques. El fet d'aquest comptatge i la dificultat -impossibilitat- de quadrar setmanes o mesos amb anys, ha marcat bona part de l'activitat de moltes cultures.

Els asteques tenien un calendari de 18 mesos de 20 dies, cosa que fa un total de 360 dies. Però com que sabien bé què durava un any astronòmic, els dies que sobraven els anomenaven maleïts. I valia més no passejar pel món aquests dies...

El dia de la coronació del faraó Ramsés, el decidí el calendari. És molt conegut el fet d'Abu Simbel en què el Sol entra dins el temple per il·luminar la seva estàtua només dos dies a l'any: el del seu naixement i el de la seva coronació. Això vol dir que, ja que en aquell temps no es podia triar el dia de naixement, el dia de la coronació havia de ser necessàriament el simètric respecte dels Solsticis, que és quan el Sol estarà en la mateixa posició.

Sense anar més lluny, quan s'organitza alguna cosa especial en ocasió d'un aniversari senyalat, estam pagant tribut al nostre sistema de numeració. D'aquí la celebració de centenaris, cinquantenaris, decennis, lustres, etc. Sempre he cregut que, tractant-se del temps, s'haurien de celebrar els dotzens i seixantenaris, que és el sistema de numeració mesopotàmic que marca les busques dels nostres rellotges, però vaja!

Tot això treu cap perquè l'any que avui començam, hauríem de celebrar amb cava i coets el cinquantenari de l'acabatall del darrer volum -el desè- del Diccionari Català-Valencià-Balear que començà el canonge de Santa Cirga, Mossèn Antoni Maria Alcover, i que acabà el seu company de viatge en aquesta aventura Francesc de Borja Moll i Casasnovas.

Doncs l'embranzida final, la darrera esperonada, aquest últim esforç vingué estimulat pel fet que l'any 1962 se celebrava el centenari del naixement del seu impulsor, Antoni M. Alcover. Francesc de Borja Moll treballà de valent i ho aconseguí, un set de desembre d'aquell llunyà 1962. Ja ho veis, nombres i paraules junts, com no pot ser d'altra manera.

Superant les barreres arquitectonicomatemàtiques

Josep L. Pol i Llompart — 2011-01-07T14:25:11Z

Plaça Fortí, Palma

Diu la normativa actual que tots els edificis públics que es construeixen actualment han d'evitar les barreres arquitectòniques. Així mateix, hi ha alguns comerços i empreses privades que fan més o menys esforços per eliminar les que ja existien. És el cas d'aquest en què, vista la bona feina del fuster, podem cavil·lar quins problemes pot haver hagut de resoldre.

L'entrada té un graó de pedra que podem prendre com un fragment d'un cilindre. Per tant, la primera qüestió que seria interessant per al fuster consistiria en saber quin és el radi que el genera. Podem midar fàcilment la corda i l'arc i d'aquesta manera... obtindríem una fórmula per calcular la incògnita?

A veure: tenim l (mig arc de circumferència) i c (mitja corda).

Així, les equacions que lliguen la informació són:

l = R .
c = Rsin (()

Per tant, no hi hauria manera d'aïllar directament el valor de l'angle ni del radi. Bé, davant això ens quedaria obtenir el radi per iteració (allò que es diu anar provant) fins a una precisió de mil·límetres o bé, prendre simplement una plantilla de paper o cartró.

Clar que després tendríem un altre problema ja que, per definició, la rampa de fusta que ens permeti salvar el desnivell haurà de marcar un pla no paral·lel al pla del graó. I clar, la línia que dibuixa una secció no perpendicular a l'eix d'un cilindre és... una el·lipse! A més a més, l'alçada a la que arribarà cada punt de la corba retallada de fusta sobre la vorera del graó serà diferent en funció de la distància al punt central.

No sé si el fuster va cavil·lar tant, però si vos fixau en la fotografia, la resolució és tan bona que s'ha pres una espècie de mitjana ja que el punt central de la rampa és una mica més baix que la vorera del graó mentre que els extrems són un xic més alts. Una meravella de resolució.

Compte enrere

Josep L. Pol i Llompart — 2011-01-05T15:12:49Z

Jaume III, Ciutat de Mallorca

Llegint pel carrer un llibre de Fernando Muñoz sobre la història dels calendaris i els rellotges se'm fa topadís aquest semàfor amb un dispositiu de compte enrere per saber els segons que falten per canviar de color.

Si demanàssim a algú en quines situacions s'empra el compte enrere, apareixeria amb facilitat el cas del llançament de les naus espacials i el cas dels temporitzadors de les bombes en les pel·lícules d'acció. I pel que sé, el compte enrere ja era utilitzat en les pel·lícules de coets abans que aquests fossin llançats realment.

El que ja no és tan conegut és la manera que tenien els romans d'identificar els dies del mes, precisament en compte enrere. Només tres dies tenien nom propi. El primer dia de cada mes s'anomenava Kalendas (i d'aquí el genèric de calendari), el cinquè (o setè si era març, maig, juliol o octubre) era dit Nonas, mentre que el tretzè (o quinzè en el cas d'aquells mesos) tenia l'etiqueta d'Idus. A partir d'aquí, els altres dies s'etiquetaven amb el nombre de dies (més un) que faltaven per arribar a un dia amb etiqueta pròpia. D'aquesta manera, el VI Kalendas Martii era el nostre 24 de febrer en un any no bixest.

Aquest "nombre de dies més un" es deu al costum que tenien els romans de comptar de manera inclusiva, és a dir, de comptar tant el dia de partida com el d'arribada. Alguns rastres d'aquesta manera de fer els trobam també en els intervals musicals (l'octava són en realitat set intervals) o quan col·loquialment deim, per exemple, "de diumenge en vuit" per significar el pas d'una setmana.

Un altre cas particular que computa el temps que falta per arribar al dimecres de cendra tot partint del dia de Nadal, que era mostrat a la gent en forma de neules penjants i que encara es viu en algunes esglésies, ja l'explicàrem en una altra mirada matemàtica.

El llibre dels morts

Josep L. Pol i Llompart — 2010-08-07T00:05:00Z

Passejant pel mercat d'Artà, els dimarts, trobam aquesta botiga en un carrer proper. De prim compte, un pot arrufar el nas i pensar que la gent que ha decidit penjar aquest logotip no coneix gaire el principi de les palanques d'Arquimedes.

Una segona mirada, ens pot fer pensar que realment el plat no té perquè estar buit i que, per tant, potser amb el material adequat, l'equilibri és possible. Clar que per això necessitam fer mesura. Una estimació dels braços corresponents ens dóna una relació de mides de 5 a 2. Això vol dir que el material que hi hagi en el plat haurà de tenir una massa dues vegades i mitja superior a la massa del pes prismàtic que penja de l'esquerra.

Ara necessitam fer una estimació del volum de cada part. Prenent valors aproximats sobre una quadrícula, tenim que:

Suposem ara (què seria de les matemàtiques sense aquest verb!) que el plat és un casquet esfèric i que per tant, la seva capacitat és (on "a" és el radi de la secció circular). A més, suposarem que el plat és ple (no hi ha rebava dibuixada).

I suposem que el pes és un prisma de base hexagonal (on el poc que surt per sobre compensa el plat i cadenes de l'altre costat) i que, per tant, el seu volum és: (on "a" és el costat de la base hexagonal). En l'esquema de mesures, el valor de 9,0 correspondria a dues apotemes.

Així les coses, la relació entre ambdós volums (plat/pes) és de 6,86. Per tant, aplicant el coeficient de palanca de 2,5 resulta que, si volem que la balança quedi anivellada, el pes hauria de tenir una densitat de 2,74 (6,86/2,5) vegades el líquid que pugui omplir el plat. Si suposem que el pes és de ferro o llautó, com passa habitualment, tindríem una densitat d'uns 8 kg/l, la qual cosa obligaria a tenir el plat ple d'alguna cosa que fos densa com 2,9 kg/l.

Descartats l'aigua (d=1 kg/l), el mercuri (13,6 kg/l) o l'oli (0,9 kg/l), hauríem de pensar en àrids com l'arena (< 2,5 kg/l) o bé, tractant-se d'una botiga de productes naturals, el talc, que presenta una densitat prou propera de 2,8 g/l.

Idò, vos demanareu, a què ve el títol de l'article? Doncs que si un en volgués sortir més aviat, podria invocar simplement algun precedent històric rellevant, com el del judici d'Osiris en la imatge que ens ofereix el papir d'Ani, de quasi 26 m, elaborat durant la dinastia XVIII cap el 1300 aC.

En aquesta famosa escena, Anubis compara el pes d'una ploma amb el pes del cor del faraó, que havia de ser més lleuger si volia anar més enllà. Clar que segons s'aprecia en el dibuix, els braços no són iguals i, qui vulgui anar més enllà...

Pi... aproximadament

Josep L. Pol i Llompart — 2010-03-13T11:14:46Z

La Trapa, Andratx

Andreu Ramis, erudit de la cultura popular mallorquina, ens fa arribar aquest fragment de l'art de Conró, del llorità Montserrat Fontanet (de qui ja parlàvem a una de les primeres mirades),

Nota que per canar una era o qualsevol radó hay a duas reglas: o quadrar- la y canar los quatre vents y trèurer el compte o canar-la ab duas canadas en creu y serà més aviat, y tant de una manera com de altre ca n'as tret el compte, puja lo que pujarà, has de llevar o trèurer la quarta part, y lo que quedara serà de terra.

Estam davant un cas pràctic de quadratura del cercle o, en realitat, de l'el·lipse, que és un cas més general. I dic de l'el·lipse, perquè crida l'atenció que faci dues canades en creu, cosa que podria ser per tenir en compte eres no ben rodones. (Tot i que, segurament, les eres que tenien voreres es construïen amb un centre i una corda, cosa que les feia “perfectament circulars”). Això de la creu, també podria ser per assegurar-se que havia pres la distància interior més gran possible (diàmetre) perquè, quan un cercle està traçat, tampoc no és trivial trobar el centre geomètric de manera pràctica.

Sigui com sigui, multiplicar les dues distàncies -si simplificam i pensam que l'era és ben rodona- és trobar l'àrea del quadrat circumscrit (que engloba) al cercle. Fontanet afirma, per tant, que els quatre trossets que sobren dels cantons són un quart de l'àrea total del quadrat. I tot i ser una aproximació, no es fa molt enfora.

Àrea del cercle =
Llavors, si en comptes del valor de arrodonim a 3, ja tenim els tres quarts de l'àrea del quadrat de què parla.

Això representa una diferència respecte del valor exacte de 0,1415... unitats quadrades, és a dir, del 4,5 % segurament era prou acceptable. (Tots els càlculs anteriors serveixen igualment pel cas que sigui un rectangle que engloba una el·lipse.)

Passes de gegant

Josep L. Pol i Llompart — 2010-02-24T11:39:05Z

Ctra. vella d'Inca, Marratxí

Prop del trencall a Marratxinet, a quasi 11,800 km de Ciutat, trobam aquesta fita de carretera. Es tracta d'una peça de pedra, ben tallada, que hagué de ser restaurada segurament a causa d'alguna envestida automobilística. El fet que es trobi un poc abans del quilòmetre 12 feu pensar a algú que podia ser una fita quilomètrica i de fet, quan la va pintar, hi afegí -equivocadament- unes cues negres que no estan gravades.

Un podria pensar que es tracta d'alguna mesura de distància tradicional com la milla, però les equivalències consultades ho descarten. El cas és que 5,850 km més endavant, a l'entrada de Consell, trobam aquesta nova fita.

I ara ja no hi ha dubte. Estam davant d'alguna unitat que fa més de cinc quilòmetres. Mirant el diccionari d'Alcover i Moll trobam que:

LLEGUA f.
Mida itinerària antiga, que per a les distàncies terrestres equival a poc més de quatre quilòmetres, i per a les marines a 5.555 metres.

El cas és que, amb el comptaquilòmetres del cotxe la distància que obtenim entre el punt II i el punt III són, com hem dit, 5,850 km mentre que si la fita II està aproximadament en el punt quilomètric 11,800, això ens dóna una distància de prop de 5,900 km, cosa que ultrapassa fins i tot la llegua marina.

Posteriorment hem fet la mesura següent (també amb el comptaquilòmetres) fins a la fita de la que ens parla el comentari de Fabián. Ara, la distància és un xic inferior a 5,500 m.

Aquest conjunt de fites, és en realitat, el darrer vestigi de la llegua castellana que, abans de la introducció a Espanya del Sistema Mètric Decimal, era la unitat de mesura de longitud llarga oficial.

Una funció esmorteïda

Josep L. Pol i Llompart — 2010-01-27T14:03:50Z

Quan un cercle o cilindre roda sobre un pla, quina és la distància que separarà dos contactes consecutius entre el terra i un punt concret del perímetre d'aquest cilindre? Una manera de fer-ho seria midar-ho directament sobre aquella superfície fent una marca (petita taca) de tinta en un punt del perímetre del cilindre de manera que, en fer-lo rodar, deixàs dues marques (taques petites) sobre la superfície esmentada.

Això és el que ha passat amb les rodes d'aquest cotxe (i alguns anteriors) sobre l'asfalt. Potser les marques deixades aquí són més grolleres, però palesen allò més important: no hi ha mesures exactes sinó més o menys precises. Com podríem minimitzar l'error en la mida? Doncs simplement, en comptes d'intentar cercar el punt mitjà de dues taques consecutives (i aquí tendríem un àmbit preciós per a treballar l'estadística) ho podríem fer midant la distància entre dues taques llunyanes i dividint pel nombre d'intervals presos.

A més, el gràfic de la superfície de cada taca en funció de la distància al bassiot original ens presenta una preciosa i evocadora funció esmorteïda.