La flor de 6 pètals

Josep L. Pol i Llompart — 2020-03-30T03:45:54Z

Una de les construccions geomètriques més populars i coneguda des d'antic és la flor de 6 pètals inscrita en una circumferència. El fet que el radi d'una circumferència ens doni exactament la longitud dels costats de l'hexàgon regular inscrit és una propietat que els alumnes poden i han d'experimentar des del seu primer contacte amb un compàs.

A Mallorca (i a tot el món), quan una planxa ha de deixar passar l'aire, sovint li es practicada aquesta figura. És el cas de cisternes, portes de rebost, gelosies, etc.

No hi ha dubte que l'hexàgon estrellat més gran inscrit en una circumferència que podem trobar a les Illes Balears és a la rosassa major de la Seu, l'Oculus Maior, construït al s. XIV, d'11,4 metres de diàmetre.

Els hexàgons regulars, per la seva facilitat de construcció, ja eren coneguts per les civilitzacions mesopotàmiques i egípcia. Però el primer escrit que parla del traçat amb regla i compàs d'aquesta figura geomètrica inscrita en una circumferència el trobam, com no podia ser d'altra manera, en els Elements d'Euclides (s. III aC). Concretament en la proposició XV del llibre IV. La construcció es descriu de la següent manera:

1- A partir del centre C dibuixa la circumferència principal. 2- Marca un punt P de la circumferència i traça la recta que passa per P i C. D'aquesta manera, obté el punt oposat Q. 3- Dibuixa la circumferència o arc amb centre P que passi per C. D'aquesta manera obté els punts R i S. 4- Ara traça la recta que passa per R i C i obté el punt T. 5- Igualment traça la recta que passa per S i C i obté el punt U.

Preguntes que ens podem fer:

Per què l'hexàgon inscrit en una circumferència té la propietat que el seu costat és igual que el radi d'aquesta circumferència?

Un hexàgon regular es pot dividir en 6 triangles equilàters. De fet, la construcció exposada comença pels dos triangles equilàters superiors. En aquests triangles equilàters està clar, per definició i per construcció, que els radis són iguals que els costats exteriors. I com que els tres angles són iguals i han de sumar 180º, llavors cada angle és de 60º. Per tant, podrem tancar la circumferència amb 6 triangles per formar l'hexàgon.

Corona de llum

Josep L. Pol i Llompart — 2020-03-27T08:07:10Z

(14è dia de confinament per la pandèmia de la COVID-19)

La pluja d'ahir, 26 de març de 2020, ens deixà imatges com aquesta, captada per una veïnada de Ca N'Ai a Sóller. L'arc de sant Martí, aquesta corona de llum, és un efecte òptic conegut de tothom encara que no sempre en tot el seu detall. Ho paga entretenir's-hi una mica.

Comencem pel paral·lelisme històric. Era l'any 1665, a entrada d'hivern, quan Londres fou assotada per un brot de pesta causat pel bacteri Yersinia pestis. Aquesta s'originà a la ribera del Tàmesi i les autoritats decretaren el confinament de la població. Però aquest confinament no va ser obeït i en voler reaccionar era massa tard. La malaltia es cobrà 100.000 morts, una quarta part de la població de la ciutat.

En aquells moments, Newton era un jove de 23 anys i la seva família, molt encertadament, l'envià a fora vila, a la granja familiar. Aquell hivern entre 1665 i 1666 el coneixem avui com a l'annus mirabilis newtonià, perquè durant aquest període Newton, aïllat del món però ja amb un bagatge científic de primera magnitud, formula la llei de la Gravitació Universal, posa les bases del càlcul infinitesimal, generalitza el teorema del binomi que porta el seu nom i estudia la naturalesa física de la llum a partir de fets com la refracció de la llum que produeixen els prismes o les gotetes de pluja amb els raigs de sol.

(Imatge d'Isaac Newton al museu de cera de Londres)

L'arc de Sant Martí és un efecte òptic que consisteix en el descabdellament de les diferents longituds d'ona que porta un raig de llum solar aparentment blanca. Aquest fenomen es coneix com a refracció i té lloc pel fet que quan un raig de llum canvia de mitjà de propagació (en aquest cas quan passa de l'aire a l'aigua i a l'inrevés) sofreix una desviació. Aquest angle de desviació és més gran com més alta és la freqüència de la radiació. És a dir, el blau es desvia més que el vermell. En el cas de les gotes de pluja, dues refraccions (1 i 3) es combinen amb una reflexió (2) com podeu veure a l'esquema següent.

L'angle que hi ha entre el raig de sol incident i el raig de color que reben els nostres ulls és de 40º per al violeta i 42º per al vermell. Pel mig, tots els altres colors. Com que a tots els efectes podem considerar que els raigs de sol arriben paral·lels a la Terra, això vol dir que el centre d'un arc de Sant Martí estarà sobre la línia Sol-Observador, és a dir, sempre davant nostre amb el sol a l'esquena. Per tant, com més baix estigui el sol, més amunt estarà aquest centre i més gran veurem l'arc. Com a màxim, veurem mitja corona.

Per acabar, fixem-nos en un detall que pot portar a confusió. Si a la realitat -mirau la fotografia- el color vermell està a la part de dalt, com és que a l'esquema el raig vermell va per davall el blau? La resposta és que nosaltres no veiem més que un raig dels que refracta cada gota. Si d'una gota veiem el blau, com que el raig vermell porta més inclinació respecta de l'horitzontal, haurem d'alçar el cap per veure el raig vermell d'una altra gota que estarà més amunt.

Mentre tant, na Maria i na Julia han penjat aquest esperançador missatge...

SBM-XEIX

La flor de 6 pètals

Corona de llum