SBM-XEIX

El nombres triangulars

Josep L. Pol i Llompart — 2020-04-02T04:33:57Z

Si agafam els nombres més senzills, els nombres naturals, i l'operació més senzilla, la suma, estarem parlant dels nombres triangulars. En efecte, és coneix com a nombre triangular aquell nombre que es pot obtenir sumant els nombres naturals consecutius a partir de l'1. Així, els primers nombres triangulars seran:

1
1+2 = 3
1+2+3 = 6
1+2+3+4 = 10
...

El fet d'anomenar-los triangulars fa referència a aquesta bonica relació entre aritmètica i geometria que els alumnes de primària poden fer ben prest, proposant simplement la construcció de termes o figures successives.

Podria semblar que els nombres triangulars són una mera invenció matemàtica, però el cert és que han deixat un rastre important a nivell històric i cultural.

Per començar, en l'àmbit de la religió catòlica, el 3 (o en la seva versió geomètrica el triangle) és la representació de la divinitat. Per això segurament un dels primers logos ha estat aquest, el triangle.

(Imatge de Déu a Santa Maria d'Inca i triangle diví al portal major de Sant Bartomeu de Sóller)

De fet, l'ús dels nombres triangulars en els llibres bíblics sol estar associada a la referència divina. Vet aquí dos exemples rellevants. Sant Joan afirma al llibre de l'Apocalipsi que el nombre del dimoni és el 666. Doncs aquest és un nombre triangular (1+2+3+...+36). Així mateix, Sant Joan explica al seu evangeli (21:1-11) que els deixebles havien pescat 153 peixos quan feren el que els digué Jesucrist. I resulta que 153 és un nombre triangular (1+2+3+...+17).

En la història de les matemàtiques, hom pensa que els pitagòrics podrien haver tingut el 10 (1+2+3+4) com a símbol místic, precisament per ser la suma de totes les dimensions geomètriques (1 seria el punt, 2 la línia, 3 el pla i 4 l'espai). A aquesta figura l'anomenaven la Tetraktys.

Preguntes que ens podem fer:

Com evoluciona la paritat dels nombres triangulars?

Els primers nombres triangulars són: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55... Per tant, observam que hi ha alternança de 2 parells i 2 senars. És interessant reflexionar sobre el perquè.

Com puc saber el resultat d'una suma triangular sense haver de sumar tots els termes?

Hi ha moltes maneres d'arribar a la solució. Una rajola quadrada tallada en diagonal ens pot ajudar a trobar un camí.

Com es veu, si volem sumar 1+2+3+4+5 quadradets, basta sumar la meitat del quadrat de 5x5 amb la meitat de 5.

Expressem aquest fet ara amb notació algebraica. Si anomenam triangular d'ordre n (T(n)) al nombre que suma els primers n-nombres naturals,

T(n) = n.n/2 + n/2 = n.(n+1)/2

La llegenda afirma, sense fonament històric, que Gauss calculà de ben jovenet, davant l'estupor del seu mestre, la suma de 1+2+3+...+100. Podeu veure una recreació a la pel·lícula Midiendo el mundo.

Què passa si sumam dos nombres triangulars consecutius?

Els primers nombres triangulars són: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28... Fem proves de sumar dos termes consecutius:

1+3 = 4
3+6 = 9
6+10 = 16
10+15 = 25

Aquests resultats presenten sempre el quadrat perfecte d'un nombre natural. Això també és pot veure a la rajola, on la suma del triangular de 4 (10) i la suma del triangular de 5 (15) dóna 25, que és el quadrat de 5.

És a dir, que amb dos nombres triangulars consecutius, sempre podem construir un quadrat.

Què passa si ara anam sumant nombres triangulars consecutius des de l'1?

Que obtindrem uns altres nombres anomenats tetraèdrics, perquè amb la seva suma sempre es pot construir un tetraedre. A la fotografia següent, es pot observar la suma dels nombres triangulars 1+3+6+10+15 per formar el tetraedre de 5 pisos (cada pis és un nombre triangular) i 35 bolles.

L'arrel quadrada de dos

Josep L. Pol i Llompart — 2020-03-31T09:12:58Z

(Tauleta babilònica YBC 7289, 1800-1600 aC, Yale Babylonian Collection. Reproducció: Pilar Sastre)

Dibuixau quadrats de diferents grandàries. Mesurau ara les seves diagonals i els seus costats i feis les divisions d'aquestes dues mesures per a cada quadrat. Descobrireu que la relació diagonal/costat és sempre un mateix nombre, una constant, que s'acosta molt a 1,41... és a dir, a l'arrel quadrada de dos.

En el cas de la rajola de la fotografia, dividiríem 47/33 = 1,42... una aproximació prou bona.

Si ara pensam la relació a l'inversa, això voldrà dir, naturalment, que si sabem la longitud del costat d'un quadrat, multiplicant aquesta per l'arrel quadrada de dos, tendrem la seva diagonal. Fa més de 3500 anys, els savis babilonis ja ho sabien com ho demostra la tauleta que teniu a la fotografia inicial.

En la tauleta d'aquella fotografia, els símbols que apareixen són les mesures (en sistema sexagesimal) del costat, de la diagonal i l'arrel quadrada de dos. (Trobareu una descripció acurada de la tauleta a YBC 7289)

Aquesta idea de les relacions constants (la relació entre la longitud d'una circumferència i el seu diàmetre és sempre el nombre pi, la relació entre la diagonal i el costat d'un pentàgon regular és sempre la proporció àuria...) és una idea potent i fonamental que hauria de descobrir tot alumne/a en els darrers anys de la seva Educació Primària.

L'arrel quadrada de dos està present en diversos àmbits de la vida quotidiana. Aquí teniu alguns exemples relevants:

El sistema DIN de paper
El sistema DIN va fixar que la relació entre la longitud i l'amplada d'un paper fos precisament l'arrel quadrada de dos. Aquest fet permet que quan xapam un full DIN A4 per la meitat, els dos fulls resultants -DIN A5- conservin la proporció, és a dir, la divisió llargada/amplada segueixi sent l'arrel quadrada de dos.

L'escala temperada
Tal i com s'afinen actualment els instruments, si multiplicam la freqüència d'una nota per l'arrel quadrada de dos, obtindrem la freqüència d'una nota que ha pujat 6 semitons, és a dir, en llenguatge musical, una quarta augmentada. Això vol dir que si el "la" de referència (la3) vibra a 440 Hz, el re# superior ho farà a (440 x 1,4142) o sigui a 622,25 Hz (cicles per segon).

Preguntes que ens podem fer:

Puc saber l'arrel quadrada de dos de manera exacta fent la divisió de entre la diagonal i el costat d'un quadrat?

És impossible perquè els dibuixos o les construccions reals no són mai perfectes i les mesures no són -ni seran- mai exactes. Això vol dir que de manera pràctica no es poden saber més que les primeres xifres decimals.

Quantes xifres decimals té l'arrel quadrada de dos?

L'arrel quadrada de dos és un nombre irracional. Això vol dir que la seva expressió decimal té infinites xifres no periòdiques. Una manera d'anar-les calculant (les primeres, clar) és per iteració. És a dir, anar provant. En realitat aquest és el mètode en el que es basa l'algoritme clàssic de càlcul. Actualment se n'han calculat -per altres vies- més de cent mil milions.

Si la relació geomètrica no serà mai exacta, com podem saber que el nombre que teòricament surt és l'arrel quadrada de dos?

Pel teorema de Pitàgores. De fet, l'arrel quadrada de dos també ha estat coneguda com a constant pitagòrica.

S'ha d'ensenyar a calcular arrels quadrades a mà?

L'algoritme de l'arrel quadrada no aporta cap coneixement interessant per a l'alumnat. Per això, quan necessitam calcular algunes xifres decimals d'una arrel quadrada, ho feim amb la calculadora, el mòbil, el full de càlcul...

La flor de 6 pètals

Josep L. Pol i Llompart — 2020-03-30T03:45:54Z

Una de les construccions geomètriques més populars i coneguda des d'antic és la flor de 6 pètals inscrita en una circumferència. El fet que el radi d'una circumferència ens doni exactament la longitud dels costats de l'hexàgon regular inscrit és una propietat que els alumnes poden i han d'experimentar des del seu primer contacte amb un compàs.

A Mallorca (i a tot el món), quan una planxa ha de deixar passar l'aire, sovint li es practicada aquesta figura. És el cas de cisternes, portes de rebost, gelosies, etc.

No hi ha dubte que l'hexàgon estrellat més gran inscrit en una circumferència que podem trobar a les Illes Balears és a la rosassa major de la Seu, l'Oculus Maior, construït al s. XIV, d'11,4 metres de diàmetre.

Els hexàgons regulars, per la seva facilitat de construcció, ja eren coneguts per les civilitzacions mesopotàmiques i egípcia. Però el primer escrit que parla del traçat amb regla i compàs d'aquesta figura geomètrica inscrita en una circumferència el trobam, com no podia ser d'altra manera, en els Elements d'Euclides (s. III aC). Concretament en la proposició XV del llibre IV. La construcció es descriu de la següent manera:

1- A partir del centre C dibuixa la circumferència principal. 2- Marca un punt P de la circumferència i traça la recta que passa per P i C. D'aquesta manera, obté el punt oposat Q. 3- Dibuixa la circumferència o arc amb centre P que passi per C. D'aquesta manera obté els punts R i S. 4- Ara traça la recta que passa per R i C i obté el punt T. 5- Igualment traça la recta que passa per S i C i obté el punt U.

Preguntes que ens podem fer:

Per què l'hexàgon inscrit en una circumferència té la propietat que el seu costat és igual que el radi d'aquesta circumferència?

Un hexàgon regular es pot dividir en 6 triangles equilàters. De fet, la construcció exposada comença pels dos triangles equilàters superiors. En aquests triangles equilàters està clar, per definició i per construcció, que els radis són iguals que els costats exteriors. I com que els tres angles són iguals i han de sumar 180º, llavors cada angle és de 60º. Per tant, podrem tancar la circumferència amb 6 triangles per formar l'hexàgon.

Corona de llum

Josep L. Pol i Llompart — 2020-03-27T08:07:10Z

(14è dia de confinament per la pandèmia de la COVID-19)

La pluja d'ahir, 26 de març de 2020, ens deixà imatges com aquesta, captada per una veïnada de Ca N'Ai a Sóller. L'arc de sant Martí, aquesta corona de llum, és un efecte òptic conegut de tothom encara que no sempre en tot el seu detall. Ho paga entretenir's-hi una mica.

Comencem pel paral·lelisme històric. Era l'any 1665, a entrada d'hivern, quan Londres fou assotada per un brot de pesta causat pel bacteri Yersinia pestis. Aquesta s'originà a la ribera del Tàmesi i les autoritats decretaren el confinament de la població. Però aquest confinament no va ser obeït i en voler reaccionar era massa tard. La malaltia es cobrà 100.000 morts, una quarta part de la població de la ciutat.

En aquells moments, Newton era un jove de 23 anys i la seva família, molt encertadament, l'envià a fora vila, a la granja familiar. Aquell hivern entre 1665 i 1666 el coneixem avui com a l'annus mirabilis newtonià, perquè durant aquest període Newton, aïllat del món però ja amb un bagatge científic de primera magnitud, formula la llei de la Gravitació Universal, posa les bases del càlcul infinitesimal, generalitza el teorema del binomi que porta el seu nom i estudia la naturalesa física de la llum a partir de fets com la refracció de la llum que produeixen els prismes o les gotetes de pluja amb els raigs de sol.

(Imatge d'Isaac Newton al museu de cera de Londres)

L'arc de Sant Martí és un efecte òptic que consisteix en el descabdellament de les diferents longituds d'ona que porta un raig de llum solar aparentment blanca. Aquest fenomen es coneix com a refracció i té lloc pel fet que quan un raig de llum canvia de mitjà de propagació (en aquest cas quan passa de l'aire a l'aigua i a l'inrevés) sofreix una desviació. Aquest angle de desviació és més gran com més alta és la freqüència de la radiació. És a dir, el blau es desvia més que el vermell. En el cas de les gotes de pluja, dues refraccions (1 i 3) es combinen amb una reflexió (2) com podeu veure a l'esquema següent.

L'angle que hi ha entre el raig de sol incident i el raig de color que reben els nostres ulls és de 40º per al violeta i 42º per al vermell. Pel mig, tots els altres colors. Com que a tots els efectes podem considerar que els raigs de sol arriben paral·lels a la Terra, això vol dir que el centre d'un arc de Sant Martí estarà sobre la línia Sol-Observador, és a dir, sempre davant nostre amb el sol a l'esquena. Per tant, com més baix estigui el sol, més amunt estarà aquest centre i més gran veurem l'arc. Com a màxim, veurem mitja corona.

Per acabar, fixem-nos en un detall que pot portar a confusió. Si a la realitat -mirau la fotografia- el color vermell està a la part de dalt, com és que a l'esquema el raig vermell va per davall el blau? La resposta és que nosaltres no veiem més que un raig dels que refracta cada gota. Si d'una gota veiem el blau, com que el raig vermell porta més inclinació respecta de l'horitzontal, haurem d'alçar el cap per veure el raig vermell d'una altra gota que estarà més amunt.

Mentre tant, na Maria i na Julia han penjat aquest esperançador missatge...