SBM-XEIX

AlfaBetaGamma: espai expositiu

Josep L. Pol i Llompart — 2024-02-28T03:49:51Z

1. Constel·lacions triangulars

Quina deu ser l'etimologia de la paraula constel·lació? Quan al cel veiem dues estrelles molt juntes, és possible que realment no hi estiguin tant? Per què?

Les constel·lacions són conjunts aparents d'estrelles en els quals la cultura popular hi ha volgut veure formes conegudes. Això en facilita molt la localització visual dins d'un oceà de punts lluminosos. La del triangle és una petita constel·lació, visible des de l'hemisferi nord, amb forma d'un triangle allargat. És una de les 88 constel·lacions modernes definides per la Unió Astronòmica Internacional i es troba entre Àries i Andròmeda. El triangle d'estiu no és, pròpiament dit, una constel·lació sinó un asterisme que està format, en els seus vèrtexs, per Deneb (de la constel·lació del Cigne), Altair (de la constel·lació de l'Àguila) i Vega (de la constel·lació de la Lira), tres estrelles molt lluents.

(Fotografia: el triangle d'estiu, d'Àngel López Jiménez i Rafael Pacheco Hernández)

2. El triangle a la natura

Seria relativament senzill trobar circumferències o esferes a la naturalesa però localitzar formes triangulars ja no ho seria tant. Se t'ocorre algun animal, planta o mineral que presenti aquesta geometria?

El triangle és una forma que, malgrat la seva senzillesa, no és evident a la naturalesa. Comencem pel món de les plantes. L'olivella és un arbust mediterrani, relativament baix, les fulles del qual recorden l'olivera i d'aquí el seu nom popular. Si ens fixam en el seu nom científic (Cneorum tricoccon) la darrera paraula ens indica que el seu fruit està compost per tres bolles en disposició triangular. També, la majoria de les seves flors, tenen 3 pètals (tot i que és fàcil trobar-ne de 4). Altres plantes, com el papir o l'allassa (Allium triquetrum), tenen la tija principal de secció triangular. En el món de les papallones nocturnes, el triangle és una forma habitual de les ales quan aquestes estan plegades o dels dibuixos que poden presentar espècies com la Rhodometra sacraria. I si cercam animals superiors, les dents dels taurons són els millors triangles per descarnar les seves preses.

(Foto: mandíbula de solraig (Isurus oxyrhinchus) pescat el 1963. Cortesia de Pescados Miró SA)

3. Els triangles del cos

Té alguna cosa a veure, el nom de tríceps, amb el triangle? Tens present algun òrgan o part del cos humà que recordi la forma, aproximadament, del triangle?

Els músculs del cos humà tenen formes diferents segons l'espai que ocupen i la funció que han de fer. Alguns d'ells recorden la forma triangular i per això reben aquest nom. És el cas del múscul que ens permet alçar els braços, el deltoides, que rep aquest nom precisament per la seva forma triangular i la de la lletra grega delta (D). O del múscul triangular (o depressor) de l'angle de la boca. Altres vegades, el triangle fa referència a l'espai delimitat entre músculs on s'hi localitzen estructures anatòmiques de rellevància. És el cas del triangle femoral (o triangle d'Scarpa), a la part superior de la cuixa, que és l'espai que estotja l'artèria, la vena i el nervi femoral. Fora dels músculs, l'escàpula o omòplat és un os relativament pla que presenta també la forma triangular. (A la imatge, el triangle suboccipital o triangle de Tillaux, que conté l'artèria vertebral, l'arc posterior de la vèrtebra C1 o atles i el primer nervi cervical posterior.)

(Imatges: Francisco Reina de la Torre i Anna Carrera Burgaya. Grup de Recerca NEOMA, Departament de Ciències Mèdiques, Facultat de Medicina, Universitat de Girona.)

4. El triangle a la prehistòria

Quines són les figures geomètriques més senzilles que trobam clarament representades a la prehistòria? On podríem localitzar triangles?

Les societats prehistòriques, aquelles que encara no havien desenvolupat l'escriptura, incorporaren molt ràpidament, ja sigui per observació de la naturalesa com per abstracció pròpia, les línies i figures geomètriques més senzilles: cercles, espirals, quadrats... o fins i tot els triangles. Les representacions més antigues que conservam ens parlen de triangles gravats a la superfície d'objectes de ceràmica o d'objectes tan complexos com els botons triangulars d'os amb dos forats. Aquest és el cas de l'aixovar trobat al sepulcre megalític de Ca Na Costa, a Formentera, amb botons triangulars i piramidals d'os o d'ullal.

(Imatge: Museu Arqueològic d'Eivissa i Formentera, sepulcre de Ca na Costa, 2000-1600 aC)

5. Piràmides i arquitectura

En parlar de piràmides, normalment ens venen al cap les tres grans piràmides egípcies: Kheops, Khefren i Micerí. Quines altres cultures antigues construïren també piràmides?

Una piràmide és un poliedre format per una base, normalment un polígon regular, que presenta les cares laterals triangulars, les quals comparteixen el vèrtex que no pertany a la base. La piràmide més senzilla és la que té per base també un triangle i, llavors, s'anomena habitualment tetraedre. En arquitectura, les piràmides més conegudes són de base quadrada i són famoses les d'Egipte, les de Mesopotàmia, o les de les cultures mesoamericanes precolombines (especialment la piràmide del Sol a Teotihuacan).

(Foto: piràmides de Kheops i Khefrén, Egipte. Guillem Alomar Canyelles)

6. Utthita trikonasana

Quin deu ser el motiu que en llengües tan diferents diferents com el català, l'anglès, l'alemany, el grec o el sànscrit, la paraula «tres» tengui la mateixa arrel?

El ioga és una pràctica tradicional originària de la Índia que persegueix l'equilibri corporal, mental i espiritual. L'etimologia del mot significa unió (que es pot entendre com la unió del cos i la ment a nivell interior, i de la persona amb l'univers a nivell exterior). Les postures corporals (asanes) són una part important d'aquesta pràctica i reben noms que en general fan referència a allò que puguin recordar (l'asana del guerrer, la fulla plegada, el peix...). Una d'aquestes asanes és la del triangle que en sànscrit es diu: utthita trikonasana.

(Imatge: Mónica Gómez Pina en la posició del triangle invertit)

7. El logo de Déu

Per què les persones varen inventar els logos? Quina és la funció d'un logo? Per què uns dels logos emprats per representar Déu és el triangle?

Els logos són símbols que permeten identificar una empresa, un producte o una idea. En general, fins a mitjans s. XX, els logos eren dibuixos figuratius que imitaven allò que representaven. Es pot acceptar que els logos nasqueren al país de Sumer amb els primers segells personals impresos sobre fang. El triangle és un dels logos de Déu més antics en la religió catòlica i el trobam a moltíssimes representacions escultòriques, en relleus, etc. Això és degut al fet de la Santíssima Trinitat (Déu pare, Déu fill i Esperit Sant).

(Imatge: La Gloria o Adoración del nombre de Dios de Francisco de Goya y Lucientes.
Oli sobre llenç (1771-1772)- Museo Goya. Fundación Ibercaja, Zaragoza. Amb permís.)

8. El teorema de Tales (s. VII aC)

Què és un teorema? A part del teorema de Pitàgores, quins altres teoremes coneixes?

Nascut a Milet (actual Turquia) el s. VI aC, Tales és un dels set savis de Grècia i també és considerat el primer gran geòmetra de la humanitat. Un dels seus teoremes diu: un sistema de rectes paral·leles que talla dues rectes concurrents en un punt determina un conjunt de segments proporcionals. Es tracta d'un teorema amb infinitat d'aplicacions i que és a la base de tota la trigonometria i la geodèsia.

(Imatge: escala de figueralera. Cortesia Biel Camps Ferrer)

9. El teorema de Pitàgores (s. VI aC)

El teorema de Pitàgores és, amb molta diferència, el teorema més famós en la història de les matemàtiques. Sabries dir el nom d'algun altre teorema?

Sembla que Pitàgores nasqué a l'illa de Samos entorn del s. VI aC. No sabem d'ell, amb certesa, gairebé res perquè l'escola pitagòrica que fundà, tenia prohibit deixar cap coneixement escrit i, per tant, tot el que ens ha arribat és per referència d'altri. Però Pitàgores és conegut arreu del món pel teorema que porta el seu nom. Realment, el teorema ja era conegut pels babilonis mil anys abans, però de Pitàgores seria el mèrit de la demostració. El teorema diu que un triangle és rectangle si, i només si, la suma dels quadrats dels dos costats més petits (catets) és igual que el quadrat del costat llarg (hipotenusa). h^2 = a^2 + b^2.

(Imatge: mètode tradicional amb la corda tancada de 12 nusos per construir angles rectes.)

10. La desigualtat triangular (Euclides, s. IV aC)

Quan tenim una certa pressa i travessam un carrer sense semàfor, t'has fixat com ho feim? Ho feim de manera perpendicular al traçat del carrer (tal i com ho faria un pas de vianants)? Per què?

La desigualtat triangular afirma que en un triangle qualsevol, la suma de dos costats és sempre major que el tercer costat. En realitat, aquesta propietat és una conseqüència directa del fet que, en la geometria d'Euclides, la recta és el camí més curt entre dos punts. Això també vol dir que, donats tres nombres (a, b, c) aquests no podran formar un triangle si a+b és menor a c.

(Imatge: CentMat, Google Earth)

11. La suma dels angles d'un triangle

Hi ha propietats geomètriques que sorprenen per la seva senzillesa i universalitat. Recordes què val la suma d'angles interiors d'un triangle? I la d'un quadrilàter?

Una de les primeres propietats geomètriques que estudiam a l'escola és aquella que diu que els angles interiors d'un triangle sumen, sempre, 180º. Euclides ja recollí aquesta proposició, fa més de 2300 anys, amb el nombre XXXII del primer llibre. S'han trobat diverses demostracions d'aquesta idea, totes elles ben senzilles. Si ampliam el nombre de costats d'una figura poligonal i la dividim en triangles, tendrem una bona manera des saber què val la suma dels angles interiors de qualsevol polígon.

(Imatge: CentMat)

12. El tetraedre (Plató, 360 aC)

Quines poliedres (figures geomètriques de tres dimensions amb les cares planes) coneixes que estiguin formades només per triangles?

Si atenem a l'etimologia del mot, tetraedre vol dir figura geomètrica de quatre cares (del grec tetra = quatre i edron = cara). El tetraedre regular és aquell que està format per quatre triangles equilàters. És el més senzill dels 5 poliedres platònics i també pot ser vist com una piràmide de base triangular. En el diàleg Timeu, Plató associa el tetraedre a l'element Foc. Els altres tetraedres possibles, no regulars, també estaran formats -necessàriament- per triangles que no seran regulars.

(Imatge: fons SBM-XEIX)

13. La fórmula d'Heró (s. I dC)

Calcular l'àrea d'un rectangle és una tasca relativament senzilla: basta multiplicar la base per l'alçada. Recordes les fórmules per a calcular les àrees d'altres figures geomètriques?

Sembla factible la hipòtesi que l'agrimensura (literalment la mesura del camp) hauria nascut a Egipte per repartir i reconèixer els bocins de terra cultivable abans i després de les inundacions anuals del Nil al seu delta. Els terrenys se solien marcar (i encara ara) amb fites, pedres més o menys grans que es posaven als vèrtexs del polígon corresponent. Com que qualsevol polígon es pot descompondre en triangles, la fórmula d'Heró per a calcular l'àrea només a partir dels tres costats és molt útil i còmoda. A = on «s» és el semiperímetre i a, b i c els tres costats del triangle.
(Imatge: Google Earth)

14. Enrajolar amb triangles (0)

Moltes vegades, quan trobam un baixant en el nivell de la vorera d'un carrer, les rajoles que el recobreixen estan tallades en forma de triangle. Sabries dir per què?

Si fixam tres punts a l'espai, aquests defineixen sempre un pla. Això vol dir que si anam marcant punts sobre qualsevol superfície corba, podem resseguir aquesta superfície amb triangles plans (no necessàriament de la mateixa forma ni grandària). Com més petits siguin els triangles, més semblant serà la superfície polièdrica resultant a la superfície original. Una altra conseqüència d'aquesta propietat és que les cadires o les escales de tres peus mai no es belluguen, sigui com sigui el terra.
(Imatge: CentMat)

15. Triangles i bastides

T'has fixat que en les bastides de les obres, a part de les peces verticals i peces horitzontals, sempre hi ha barres en diagonal que formen triangles? Sabries dir per què? Per què les torres d'alta tensió tenen també tot un conjunt de triangles?

Una bastida no és més que un conjunt de barres rectilínies unides pels extrems. Per tant, les peces de les bastides van formant polígons que, en la majoria dels casos, són rectangles. Si la unió d'extrems arriba a permetre un cert moviment (perquè els perns s'afluixen, per exemple), el rectangles es poden convertir en romboides i aquest fet fa perillar l'estabilitat de la bastida i la seguretat de les persones que hi feinegen. El triangle és l'únic polígon indeformable. És a dir, donades tres barres d'una longitud determinada, el triangle que poden formar és únic.
(Imatge: CentMat)

16. Els nombres triangulars

Si dues persones es volen saludar ho poden fer amb una encaixada de mans. Si tres persones es volen saludar totes amb totes, també amb una encaixada de mans, quantes se'n faran? I quatre persones? I cinc?...

Hi ha moltes situacions en què és necessari sumar els nombres naturals consecutius des de l'1 fins a un nombre determinat. S'atribueix a Gauss el mètode senzill i bo d'entendre de sumar el primer amb el darrer, el segon amb el penúltim... perquè aquest mètode té resultats constants i, al final, com què en realitat hem sumat tots els nombres dues vegades, simplement hem de fer la meitat. La fórmula seria: 1+2+3+4+ ... +n = (1+n).n/2 Aquests nombres s'anomenen triangulars perquè es poden distribuir, si pensam en peces esfèriques, formant un triangle equilàter.
(Imatge: nombre triangular de nivell vuit = 36, CentMat)

17. La música del triangle

Hi ha hagut èpoques en què la música era una activitat prohibida. Sabries trobar l'instrument musical anomenat triangle en el famós quadre d'El Bosco «el jardí de les delícies»?

El triangle és un instrument metàl·lic de percussió fabricat normalment d'acer. La seva forma actual és la d'un triangle equilàter una mica obert per un dels seus vèrtexs (i, per tant, realment, se n'ha eliminat un vèrtex) tot i que antigament podia presentar volutes, formes trapezoidals, etc. Habitualment, el músic sosté el triangle amb un fil de nylon per un dels seus vèrtexs i el colpeja amb una vareta també de metall. Segons l'efecte que es vulgui aconseguir, el triangle pot ser colpejat de moltes maneres (per dins, per fora, repetidament a l'interior d'un vèrtex...). Com instrument, fou incorporat a l'orquestra devers el s. XVIII i acompanya algunes de les introduccions de l'himne a l'alegria en el 4t moviment de la 9a simfonia de Beethoven.
(Detall de El jardí de les Delícies de El Bosco. Oli sobre fusta (ca. 1500-1505), Museo del Prado)

18. El triangle de Pascal

Blaise Pascal és el paradigma d'una persona sàvia que s'interessa per tot. Una de les seves sentències diu que val més saber alguna cosa de tot, que saber-ho tot d'una sola cosa. Fou un gran matemàtic que cultivà també... sabries dir quines altres disciplines?

El triangle de Pascal és una distribució numèrica, molt senzilla de construir, que presenta una superfície triangular de nombres. Aquests nombres s'obtenen, de dalt per avall, sumant sempre els dos superiors (els extrems de línia són sempre 1). El resultat és, en realitat, el conjunt de coeficients binomials que tenen aplicació en combinatòria, àlgebra, teoria fractal... i altres camps. Pascal estudià en profunditat aquest triangle que ja coneixien, prou temps abans, indis, xinesos o, fins i tot, europeus.
(Imatge: CentMat)

19. Persecució triangular (1655)

Què passaria si tres persones es col·loquen sobre el vèrtexs d'un triangle equilàter i cada una es va movent al mateix temps per perseguir la que té a la seva esquerra?

El camí que descriuria cada una d'elles seria el mateix i s'anomena, precisament per la manera en què es genera, corba de persecució. Quan aquestes estan inserides en un polígon regular donen lloc a espirals logarítmiques. Aquest tipus de corba ja fou plantejada per Descartes però va ser Jacob Bernoulli qui les estudià en profunditat i les anomenà spira mirabilis, per la propietat que el pendent de la corba és constant en qualsevol punt. Això fa que qualsevol part de l'espiral sigui autosemblant a qualsevol altra part de la mateixa. Jacob Bernoulli va demanar que li fos gravada a la seva tomba, però el gravador es va errar i li va posar una espiral arquimediana.
(Imatge: CentMat)

20. Escaire i cartabó
Quins són els estris de dibuix tècnic més emprats? Dos d'ells presenten forma triangular.
Sabries identificar-los? Com ho faries per mesurar-ne els angles?
Quan parlam que una cosa fa escaire volem dir que l'angle que formen els seus costats és de 90º. Per això, els dos estris de dibuix més habituals (a part del regle i el compàs) que tenen forma triangular es poden dir escaires. Però el fet que un d'ells sigui especial perquè, a més, també presenta dos costats iguals -i per tant és isòsceles- fa que rebi un nom particular i, per això, es diu cartabó. En el cas de l'escaire, els angles aguts que presenta són de 30 i 60o. Aquesta terminologia d'escaire i cartabó apareix, sovint, girada per mor que en llengua castellana els mots semblants identifiquen els estris canviats.

(Imatge: CentMat)

21. Els diagrames ternaris (s. XVII)

Imagina que vius en una illa que és un triangle equilàter perfecte. Si cada dia haguessis d'anar i tornar de cada una de les tres voreres pel camí més curt possible, on te convendria viure per fer el mínim de recorregut total?

Vincenzo Viviani fou un savi florentí, deixeble de Galileu, que, entre d'altres coses, demostrà el teorema que porta el seu nom: en un triangle equilàter, la suma de distàncies d'un punt interior als tres costats és constant i igual a la longitud del costat. Aquest teorema es extrapolable a qualsevol polígon regular. Una aplicació la trobam en la realització dels diagrames ternaris de composició. Cada punt interior del triangle representarà una mescla possible, en percentatge, de tres components que, per tant, sumaran sempre el 100%.
(Imatge: CentMat)

22. La recta d'Euler (1750)

Imagina que anam canviant de posició els vèrtexs d'un triangle el qual, per tant, anirà canviant de forma, de superfície, etc. Sabries dir algunes característiques que no deixaran de complir-se per molt que el modifiquem?

En qualsevol triangle podem definir quatre punts singulars. El circumcentre, que és el punt on es tallen les mediatrius dels tres costats (i que ens dona el centre de la circumferència que passa pels tres vèrtexs). El baricentre, que és el punt on es tallen les tres mitjanes (i que és també el centre de gravetat del triangle). L'incentre, que és el punt on es tallen les tres bisectrius (i que és també el centre de la circumferència inscrita en el triangle). I l'ortocentre, que és el punt on es tallen les altures. A mitjans del s. XVIII, Leonhard Euler descobrí que l'ortocentre, el baricentre i el circumcentre estaven sempre alineats, fos quin fos el triangle.
(Imatge: CentMat, GeoGebra)

23. La triangulació geodèsica

Abans que disposàssim d'imatges aèries, com es podien fer plànols a escala? Com es podien calcular les distàncies enmig de la mar?

La triangulació és la tècnica mitjançant la qual es poden fer plànols de regions molt grans mesurant només els angles de triangles que ocupin aquesta superfície. La feina consisteix en localitzar punts singulars, normalment del relleu natural (cims, caps, colls...) però també arquitectònics (castells, torres, molins...) i unir-los de manera que la superfície quedi recoberta per triangles encadenats. Després, es mesuren in situ tots i cada un dels angles i, finalment, es fa la mesura precisa de longitud d'un dels seus segments (normalment dos, per comprovar la bonança dels càlculs). Aquesta és la tècnica que feu servir, per exemple, François Arago quan conclogué la mesura del meridià de París a Mallorca el maig de 1808.
(Imatge petita: plànol de la triangulació de 1806-1808. Bigourdan, Observatori de París)

24. Triangles esfèrics (1800 aprox.)

Podem dibuixar un triangle sobre una esfera? Com seran llavors els seus costats? I la suma d'angles, seguirà sent de 180º?

Si, sobre el pla, podem definir un triangle com el resultat d'unir tres punts amb les línies més curtes, les rectes, sobre una superfície esfèrica, anomenarem triangle al resultat d'unir tres punts pel camí més curt. Aquest camí s'anomena geodèsica (o circumferència màxima) i és la línia que quedaria a la superfície si tallàvem l'esfera amb un pla que passàs pels dos punt a unir i pel centre de l'esfera. El més curiós és que la suma d'angles en aquest cas serà sempre superior a 180º.
(Imatge petita: plànol de la triangulació de 1806-1808. Bigourdan, Observatori de París)
(Imatge: triangle esfèric amb tres angles de 90º, CentMat)

25. El triangle de Reuleaux (aprox. 1850)

Sembla que la roda podria haver estat inventada a partir de la idea de fer lliscar blocs de pedra sobre cilindres de fusta. I si, en comptes de cilindres, hi col·locàvem troncs de secció més o menys triangular. Podria anar bé?

Podem construir l'anomenat triangle de Reuleaux a partir d'un triangle equilàter, traçant els arcs de circumferència que uneixen cada parell de vèrtexs amb centre al tercer vèrtex. La figura construïda té la propietat que la seva alçada és constant. Dit d'una altra manera, la distància mínima entre dues línies paral·leles que contenguin el triangle de Reuleaux és constant. És a dir, sobre els triangles de Reuleaux es pot fer lliscar una planxa o superfície de manera que aquesta no canviarà d'alçada durant el recorregut.
(Imatge: triangles de Reuleaux a la Seu de Mallorca. CentMat)

26. El triangle de Sierpiński (1915)

Què passaria si seguíssim fent iteracions com les de la imatge fins a l'infinit? Quanta tinta gastaríem per fer el dibuix final?

El triangle de Sierpiński és un objecte geomètric que fou concebut pel matemàtic polonès Waclaw Sierpiński l'any 1915. La seva construcció és un procés d'iteració infinit que consisteix en repetir unes passes molt senzilles. Donat un triangle equilàter negre, es divideix en 4 triangles equilàters més petits. Després s'elimina el triangle central i, com que queden tres triangles equilàters negres, es repeteix l'operació en cada un d'ells, i així successivament de manera infinita. Aquesta idea d'autosemblança fou sistematitzada i definida durant els anys 70 amb el nom de fractal pel matemàtic també polonès Benoît Mandelbrot.
(Imatge: CentMat)

27. El camp d'extermini de Sachsenhausen (1936)

Quants recintes urbans coneixes que tenguin forma triangular? Per què penses que el camp de concentració nazi de Sachsenhausen presenta aquesta geometria?

Segons expliquen els guies, els nazis havien fet proves amb ratolins sobre la influència que podia tenir la forma del tancat sobre els animals i havien descobert que la geometria triangular els feia més por, és a dir, provocava que s'agrupassin al centre, lluny de les voreres. El camp de concentració de Sachsenhausen es troba a la població d'Oranienburg, 35 km al nord de Berlín. Estigué actiu des de 1936 fins a 1945 i en ell hi va estar presoner el primer ministre de la II República Espanyola, Francisco Largo Caballero, i hi fou executat el fill major de Joseph Stalin, Yakov Dzhugashvili. Actualment es pot visitar com a Memorial.
(Imatge: Google Earth)

28. Les ales Delta

T'agrada fer avions de paper? Quina forma tenen els més senzills de tots? Te pareix que és una bona geometria per a volar?

En grec, la lletra equivalent a la nostra D s'anomena delta i el símbol per a la seva versió majúscula és un triangle (D). D'aquí el nom del giny volador conegut com ala delta ja que té, aproximadament, la forma d'un triangle. Les ales delta modernes començaren a desenvolupar-se a finals del s. XIX i el pilot aconsegueix controlar el vol, amb l'ajut de corrents d'aire ascendents, desplaçant el seu cos (i per tant, el centre de gravetat) a través d'un balancí d'alumini que té, també, forma triangular.
(Imatge: creative commons: www.pixnio.com)

29. El triangle de les Bermudes

Has sentit parlar del triangle de les Bermudes? Sabies que també és conegut com el triangle del Diable? Sabries explicar per què?

Des de mitjans de segle XX, a la zona que abraça des de l'illa de Costa Rica, la punta sud de la península de Florida i les illes Bermudes, se la coneix amb el nom del triangle de les Bermudes. Es tracta d'una superfície marítima de 4 milions de quilòmetres quadrats a l'est d'Amèrica Central, dins l'oceà Atlàntic. Aquesta denominació fou encunyada després que alguns periodistes començassin a parlar d'una zona on avions i vaixells desapareixien sense cap causa coneguda. Davant la fama que va guanyar la zona, la guarda costera d'EEUU realitzà un seguiment i arribà a la conclusió que no es produïen més accidents per unitat de superfície que qualsevol altra zona estriada a l'atzar.
(Imatge: Google Earth)

30. Cúpules geodèsiques

Quins avantatges tenen les cúpules front a les construccions tradicionals fetes a força de columnes o pilars i plans horitzontals? Quins desavantatges poden presentar?

Anomenam cúpules geodèsiques aquelles estructures més o menys semiesfèriques desenvolupades a partir d'un políedre de cares triangulars. El fet que les cares siguin triangles, és imprescindible perquè l'estructura no se plegui i sigui rígida. La primera cúpula geodèsica fou construïda després de la primera Guerra Mundial per allotjar el projector d'un planetari. Si miram les figures que formen els triangles d'una cúpula geodèsica, veurem que en general són hexàgons però que també hi ha, de tan en quant, pentàgons. Llevat dels políedres platònics de cares triangulars (tetraedre, octaedre i icosaedre), no es pot fer una cúpula geodèsica completament uniforme.
(Imatge: cúpula geodèsica del British Museum. Norman Foster, 2000, CentMat)

31. Veles de vaixell

Navegar a vela pot ser una experiència ben agradable. Els vaixells que les fan servir, presenten diferents siluetes en funció de la seva antiguitat. Sabries dir quins tipus de triangle hi apareixen?

La navegació a vela és un dels grans invents de la humanitat. Els primers habitants de les Balears -fa uns 5000 anys- hi arribaren, necessàriament, així. L'embarcació tradicional de les illes és el llaüt. L'aparell que porta s'anomena vela llatina i és un triangle acutangle. En canvi, les embarcacions modernes del tipus balandre porten aparell Marconi, que és un triangle rectangle format pel pal principal i la botavara.
(Fotografia: Rafael Blanc Bofarull, far i torre de cala Figuera, Calvià)

32. Tessel·lats triangulats d'Escher

Tots hem vist centenars d'espais enrajolats amb quadrats però, es pot enrajolar el trespol d'una habitació amb triangles? Ho has vist alguna vegada? Per què deu ser?

Mauritius Cornelius Escher fou un artista i dibuixant neerlandès, del s. XX, que és recordat per la seva imaginació. Moltes de les seves idees i creacions són presents a multitud d'àmbits com els de la ciència, la publicitat, els jocs, etc. Conten que la primera visita que realitzà a l'Alhambra de Granada el va impactar tant, que dedicà moltes hores al tema dels tessel·lats. El 1955 realitzà la litografia titulada «Liberation» on un tessel·lat triangular es va transformant progressivament en un gran esbart d'aucells.
(Imatge: Bevrijding (Liberation) d'M.C. Escher. © The M.C. Escher Company)

33. El triangle de Reutersvärd

És possible, en l'espai tridimensional en el que ens movem, construir un triangle amb els tres angles rectes?

El 1934, l'artista suec, Oscar Reutersvärd va fer un dibuix que ens empeny a visualitzar un triangle format per tres llistons de secció quadrada units en angle recte. L'artista neerlandès Mauritius C. Escher feu ús d'aquesta il·lusió òptica en el seu gravat Waterfall. Aquest triangle impossible fou estudiat en profunditat i popularitzat pel físic i matemàtic anglès, Roger Penrose, durant els anys 50, de tal manera que la gent el coneix amb el seu nom. A partir del dibuix original, s'han creat moltes anamorfosis tridimensionals, és a dir, objectes que mirats des d'un punt concret, semblen formar la figura impossible. Les cares laterals així enllaçades formen una gran banda de Möbius que es completa fent 4 voltes al triangle.
(Imatge: CentMat)

34. Cediu el pas

Quines figures geomètriques recordes que es facin servir com a base per als senyals de trànsit? Té algun significat especial el triangle en aquest codi de circulació?

Els senyals de trànsit són símbols anomenats verticals (encara que els també els trobam pintats a terra) que ens proporcionen informacions, avisen de prohibicions, fan recomanacions, etc. En general, aquests senyals eviten les paraules i fan servir símbols gràfics més internacionals. N'hi ha dos molt especials, que són l'STOP, l'únic de forma octogonal, i CEDIU EL PAS, l'únic triangle que té un vèrtex per avall. Aquesta singularitat fa que poguem identificar el senyal fins i tot des de la part del darrere, cosa molt important en un encreuament.
(Foto: CentMat)

35. La successió de Hans van der Laan
L'espiral és una forma habitual de l'entorn. Sabries localitzar una espiral de l'ordre d'1 cm, una altra que tengui alguns dm, una altra d'alguns centenars de quilòmetres, i una altra de milers d'anys llum?
L'arquitecte i monjo benedictí Dom Hans van der Laan (1904-1991) es va plantejar quina era la proporció mínima entre dues mides, de manera que les poguéssim captar clarament com a diferents. A partir d'estudis com aquest, va definir la successió que porta el seu nom (coneguda també amb el nom de Podovan, arquitecte nascut el 1935 que va estudiar l'obra de Laan). En aquesta successió, una vegada definits els tres primers termes (a1=0, a2=1, a3=1), els termes següents s'obtenen a partir d'aquesta llei de recurrència: an = an-2 + an-3. La relació entre un terme i l'anterior, a mesura que progressa la successió, tendeix a una constant que rep el nom de nombre plàstic. El valor d'aquesta constant és proper a 53/40, concretament, el valor real de l'equació x3 = x + 1. (El nom de nombre plàstic no té
res a veure amb el material sintètic, sinó amb la seva relació amb les arts plàstiques.)

(Imatge: espiral de van der Laan, CentMat)

36. El triangle cognitiu

Quan ens trobam davant alguna situació difícil, què pensam? Què sentim? Com reaccionam? Quina d'aquestes tres coses és primer?

Durant els anys 60, dins el camp de la psicoteràpia, es desenvolupà als EEUU la Teràpia o Estimulació Cognitiva, que estudia, esquematitza i prova de millorar la nostra relació amb els estímuls exteriors a partir de l'anomenat Triangle Cognitiu. Aquest triangle està format per tres vèrtexs que són: els pensaments, els sentiments i els comportaments. Aquest model cognitiu estableix que totes tres coses estan íntimament lligades i que, coneixent-les, podrem modificar-les per al nostre benefici.
(Imatge: espiral de van der Laan, CentMat)

37. La piràmide ecològica

Si feim cas a l'etimologia de la paraula, ecologia és l'estudi de les cases, dels habitatges (del grec oikos=casa i logos=estudi). Sabries dir en quin segle va ser encunyat el terme ecologia? És el mateix ecologia que ecologisme?

La piràmide ecològica és un recurs gràfic i didàctic (moltes vegades dibuixada simplement com un triangle) per visualitzar quines són les relacions en l'intercanvi d'energia i matèria entre els éssers vius. Així, en el nivell més baix, a la base, hi trobam els productors, aquells organismes que poden fabricar el seu aliment a partir de la matèria inorgànica i l'energia solar (bàsicament, algues i plantes). En el nivell següent hi ha els consumidors primaris o herbívors, que s'alimenten exclusivament de productors. Els nivells superiors són ocupats per les espècies insectívores, carnívores, omnívores... Les piràmides ecològiques poden focalitzar l'atenció en el traspàs d'energia (energètiques), de matèria (tròfiques), o de nombre d'individus (numèriques).
(Imatge: piràmide tròfica, Bioescola, Barcelona)

38. La piràmide alimentària

Quin és el teu plat preferit? Quin és el tipus d'aliment (hortalisses, carn, fruita, peix, llet...) que prens més vegades al dia? Quins petits (o grans) canvis en la teva alimentació penses que serien beneficiosos per a la teva salut a llarg termini?

La piràmide alimentària és un recurs gràfic i didàctic (moltes vegades dibuixada simplement com un triangle) per visualitzar quina és la millor relació, en termes de quantitat i freqüència, dels diferents grups d'aliments que ingerim. Habitualment la piràmide es divideix en tres nivells. El nivell més baix, i per tant el més ample i gran, conté els aliments que s'han de prendre en més quantitat, és a dir, diàriament. En el segon nivell hi trobam els aliments que s'han de prendre setmanalment i que, per tant, també són necessaris. En el vèrtex superior, que és el pis amb menys espai, hi trobam aquells aliments prescindibles que només s'han de consumir ocasionalment.
(Imatge: Generalitat de Catalunya, Canal Salut)

39. Batalla espacial

Coneixes alguna poesia de contingut matemàtic? Sabies que la premi Nobel de literatura Wisława Szymborska (Polònia) té un poema dedicat al nombre pi?

Roberto Piumini és un pedagog i escriptor italià, conegut sobre tot per la seva obra adreçada al públic infantil, però que ha escrit per a totes les edats. En el poema Batalla espacial, l'autor (i el traductor en la versió catalana) han tengut l'encert de jugar amb les paraules triangle i quadrat a partir de la seva semblança fonètica amb les paraules de personatges mitològics com l'àngel i el drac. Les característiques matemàtiques de les figures geomètriques són emprades amb mestria per construir un relat meravellós.
(Batalla espacial, poema de Roberto Piumini traduït al català per Miquel Desclot)

40. El triangle al cinema

No és molt difícil, per a una persona aficionada al cinema, recordar alguns títols que contenguin explícitament termes matemàtics. Series capaç de recordar-ne alguns?

Triangle és una pel·lícula britànica estrenada l'any 2009 del director i guionista, Christopher Smith. Els seus protagonistes són Melissa George i Michael Dorman. Classificada dins el gènere de suspens i terror, ambientada a la mar, la trama deixa anar també algunes reflexions metafísiques sobre la idea del temps i ha estat molt ben valorada per la crítica internacional. Les referències a the shining (el resplandor) de Kúbrick són paleses al llarg de tota la cinta. És curiós que una altra pel·lícula del suec, Ruben Östlund, titulada Triangle of Sadness (el triangle de la tristesa), una comèdia satírica d'humor negre, estigui ambientada també a la mar.
(Cartell de la pel·lícula Triangle, Christopher Smith, 2009)

41. Urbanisme i triangles

Quina diries que és la figura geomètrica més utilitzada per a una illeta de cases a l'hora de traçar un pla urbanístic? Quina diversitat de formes podem trobar a les places de les ciutats? Se t'ocorre algun lloc amb forma triangular?
En ciutats antigues, les figures geomètriques que presenten les illetes de cases són fruit d'un creixement poc planificat i, per tant, en general, irregular i divers. Però en traçats lineals més o menys moderns, en la confluència de barris... és relativament bo de fer trobar espais triangulars. Serveixin d'exemple el municipi Trianglen, de Copenhagen, Trianglen, un barri del comtat de Prince William, a l'estat de Virgínia (EEUU), les places Triangulars de Màlaga, de Múrcia, de Benidorm o del Port (Girona), la placeta triangular de València, la placeta d'en Ramon i d'en Panzo de Santa Margalida, etc.
(Imatge: castell de Capdepera, Mallorca. Google Earth.)

42. Cases triangulars

A l'hora de pensar en una casa o en un edifici, quina és la figura geomètrica que ens ve primer al cap? Pots imaginar algunes cases que no segueixin aquest patró?

El rectangle és la figura omnipresent en els habitatges humans de pobles i ciutats. El fet que l'angle recte encaixi amb la majoria d'objectes que construïm, també rectangulars, és un dels motius que justifica la seva aclaparadora presència. Només en el cas de les teulades, com a recurs per evacuar l'aigua de pluja, apareix, amb una certa freqüència, la forma triangular. Hi ha, emperò, empreses i dissenys arquitectònics que duen el triangle a la seva màxima expressió amb resultats sorprenents. Potser perquè recorden aquelles tendes de campanya primigènies...
(Imatge: Wikimedia commons)

43. Ritmes de Joan Lacomba

Has jugat alguna vegada a emplenar de colors el conjunt de superfícies blanques d'una superfície retxada de manera que, en fer-ho, apareix un dibuix que abans no es podia apreciar?

Durant els anys 70, l'artista mallorquí i multidisciplinar, Joan Lacomba (1934-2022), realitzà tota una sèrie d'obres que marcaren aquella època sota el títol genèric de ritmes. En aquestes pintures, Lacomba traçava sobre llenç o paper línies d'una sola i suau curvatura, les interseccions de les quals aconseguien recrear les figures que l'artista imaginava. L'ús premeditat de tonalitats càlides o fredes, confereix a les obres una especial sensació de profunditat. La manera de gestar aquestes obres fa que en elles hi apareguin, amb molta freqüència, projeccions planes de triangles esfèrics.
(Imatge: Violoncel·lista embarassada. © Joan Lacomba. 90 x 116 cm, Oli sobre tela. Amb permís.)

44. Gregory Dubus: l'elogi al triangle

Quin és l'objectiu final de l'art? Per què, a principis del s. XX, va sorgir el corrent artístic anomenat art abstracte? Què et diu aquest quadre?

Gregory Dubus és un artista francès, autodidacta, que produeix obres abstractes geomètriques de traç meticulós, inserides sempre dins una malla triangular, amb simetries o sense, i que ell mateix anomena Art Triangle. És un art -per fer servir les seves paraules- que cerca l'equilibri harmònic entre espontaneïtat i planificació, entre simplicitat i complexitat, entre monotonia i diversitat...
(Imatge: un retrat de l'artista i el seu autoretrat. © Gregory Dubus. Amb permís.)

45. Els triangles d'Okuda San Miguel

Per què és habitual, com en el cas de la pintura de Joan Miró, que quan un artista utilitza colors vius i superfícies d'un sol color

Okuda San Miguel és un artista càntabre l'obra del qual presenta un ús exhaustiu de la figura triangular. Són característics, en gran part de la seva obra, els polígons estrellats i les superfícies triangulades. Les superfícies i combinacions de colors vius que s'hi apliquen, són una referència explícita al pop art. Una altra de les fonts de la que beu la seva obra és l'art urbà.
(Imatge: Kaos Star – Artmosphere – Gorky Park, Moscou. © Okuda San Miguel. Amb permís.)

46. L'univers de Sengai Gibon

Per què creus que l'artista japonès del s. XVIII, Sengai Gibon, va fer aquesta obra? Coneixes alguna representació moderna d'aquestes tres figures geomètriques que surti habitualment en els mitjans electrònics?

Sengai Gibon fou un monjo budista zen que ens va deixar aquesta obra sense cap títol ni anotació, fora de la seva signatura. És feta amb un pinzell sobre paper, carregat de tinta només una vegada i, per això, el traç del cercle, del triangle i del quadrat és, progressivament més dèbil. Ens podríem demanar sí és un exercici de cal·ligrafia o de pintura, però ell mateix digué que no era, en realitat, cap de les dues coses. Habitualment, s'ha titulat l'obra com «L'Univers».
(Imatge: L'Univers, de Sengai Gibon. Tinta sobre paper d'arròs. Wikimedia commons)

Tallers AlfaBetaGamma

Josep L. Pol i Llompart — 2024-02-28T03:49:31Z

Aquí trobareu adjuntes les instruccions de les activitats que es varen dur a terme dins les aules de taller de l'exposició.

- Exposicions

Ludoteca

Josep L. Pol i Llompart — 2023-06-15T03:32:35Z

Aquí teniu el recull (mirau arxius adjunts) d'algunes activitats que poden servir per crear una ludoteca matemàtica al centre escolar. La dificultat de les propostes s'ha classificat simplement en baixa, mitjana i alta perquè cadascú les adreci al curs que trobi adient.

- Materials / Educació Infantil, Educació Primària

AlfaBetaGamma

Josep L. Pol i Llompart — 2023-06-14T03:40:40Z

és un viatge a través de la concepció, la història, les propietats i les aplicacions dels triangles i les piràmides.

Lloc i dates: L'exposició romandrà oberta des de dilluns 15 de gener fins al divendres 9 de febrer de 2024 al Centre Cultural de la Misericòrdia.

Adreçada a: públic escolar d'Educació Primària i Secundària (durant els matins de dies lectius, prèvia inscripció) i públic en general (més endavant publicarem el calendari d'activitats).

Dinàmica de les visites: La visita guiada per a centres escolars consta de dos mòduls:

A – Espai expositiu
B – Aula de tallers

Cada mòdul té una durada màxima d'entre 25 i 30 minuts. Per tant, la durada total de la visita és d'una hora. Els grups tendran un màxim de 30 alumnes. Cada dia es podran fer 4 franges de visites de 9.30 a 13.30 h.

SOL·LICITUDS DE VISITES:

Al formulari de sol·licituds a partir de l'1 de setembre de 2023

ACTIVITATS COMPLEMENTÀRIES PER AL PÚBLIC EN GENERAL

CONFERÈNCIES
(Cal inscripció prèvia: centmat@gmail.com)

Div. 26 gener (18.30) Matemati... què? a càrrec de Pere Estelrich
Dij. 1 febrer (18.30) Les figures del cel, més enllà de les constel·lacions a càrrec de Lluc Mas
Dis. 10 febrer (12.00) Jugando con las trayectorias de vuelo a càrrec de Pablo Beltrán

VISITES GUIADES
(Cal inscripció prèvia: centmat@gmail.com)

Dij. 25 gener (18.00) Visita guiada per adults
Dis. 3 febrer (a les 10 i a les 11.30) Visites guiades familiars (a partir de 6 anys)
Dij. 8 febrer (18.00 h) Visita guiada per adults
Div. 9 de febrer (17.30) Visita guiada familiar (a partir de 6 anys)

TALLERS
(Cal inscripció prèvia: centmat@gmail.com)

Dis. 27 gener (10.30) Construcció de cúpules de Leonardo
Div. 2 febrer (18.00) 15 reptes per a celebrar els 15 anys del CentMat
Dis. 10 febrer (10.00) Origami a través de las matemáticas (Pablo Beltrán)

LUDOTECA (de 6 a 99 anys)
(Cal inscripció prèvia: centmat@gmail.com)

Oberta els dijous 25/I, 1/II, 8/II de 17 a 19.30 h.
Oberta els divendres 26/I, 2/II, 9/II de 17 a 19.30 h.
Oberta els dissabtes 27/I, 3/II, 10/II de 10 a 13 h.

CRÈDITS: L'elaboració de l'exposició correrà a càrrec del CentMat i compta amb el suport del Consell de Mallorca i la col·laboració de l'SBM-XEIX en les activitats complementàries.

Idees Rodones: espai expositiu

Josep L. Pol i Llompart — 2023-02-20T02:49:46Z

Aquí teniu totes les imatges i textos de l'exposició

1. Els cercles primigenis

Deia Ramon Llull que primerament sentim e puxes entenem. Si tancam els ulls, quines són les primeres imatges que ens venen al cap de coses naturals, no creades per les persones, que tenguin forma de cercle o d'esfera?

L'experiència és la millor o, a segons quins nivells, l'única porta d'entrada al coneixement. A la prehistòria, els conceptes de cercle i d'esfera es varen anar forjant a partir d'imatges com la del sol, de la lluna plena, de les ones d'una pedra llançada en un estany, del tall d'una branca, del xap d'una fruita... com també de les gotes d'aigua, dels còdols de platja, de les bolles de posidònia, etc. Ben aviat aquestes figures passaren a formar part de les produccions i del vocabulari d'aquelles societats primigènies.

(Fotografia: Àngel López Jiménez i Rafael Pacheco Hernández)

2. Els cercles a la prehistòria

Com podríem dibuixar una circumferència sense compàs? Quines paraules se t'acuden relacionades amb el cercle, la circumferència i l'esfera? Quin és el gest que fan les nostres mans quan feim una bolla de fang?

Quan en les produccions primitives apareix sovint una figura geomètrica és que el seu concepte s'ha assolit i una nova paraula s'ha incorporat a la llengua. La precisió dels cercles primitius indica, sens dubte, que les persones ja havien descobert les dues maneres més comunes de produir-los: bé pels talls successius perpendiculars a l'eix d'un cilindre (com les llesques d'una branca), bé pel traç d'una línia a distància constant d'un punt amb un compàs de corda o cadena. A les Balears, en són exemples els discs de bronze, les polseres, els anells o els botons dels aixovars prehistòrics, però també les plantes de molts talaiots, els plats i les olles de ceràmica, etc. Nogensmenys, el disc solar fou el símbol de la divinitat en la cultura egípcia, a l'altra riba de la Mediterrània.

(Fotografia: Rafael Blanc Bofarull, talaiot de sa Canova, Artà)

3. La roda

Què fou primer, el zero o la roda? Sempre s'ha dit que un dels millors invents de la humanitat és la roda. Quines coses que feim servir cada dia no podrien existir o funcionar sense la roda?

Les dades que maneja l'arqueologia podrien situar la invenció de la roda entre el 3500 i el 4000 aC. Tot i que és possible que nasqués a diversos llocs alhora, se'n té constància certa a l'entorn de les cultures mesopotàmiques, concretament la sumèria. La idea primitiva hauria sorgit del lliscar d'objectes -com ara blocs de pedra- per sobre de troncs en una superfície relativament plana. Llavors, la innovació tecnològica necessària, la que dona sentit a la roda, passa per la idea de fixar el cercle a l'objecte que s'ha de moure. Això només es pot aconseguir a través d'un eix que permet convertir el moviment de rotació en un moviment de translació lineal, horitzontal, estable i continuu. Devers el 2500 aC, la roda primigènia plena, molt feixuga, evolucionà cap a la lleugera roda de radis.

(Fotografia: CentMat, roda de galera de Palma)

4. El torn de gerrer

Heu provat mai de tornejar una peça de fang? Quines coses necessitam decidir abans de posar-nos-hi? Es poden fer peces de qualsevol grandària?

Anomenam torn a aquell dispositiu mecànic que permet fer voltar pastes o objectes sobre un eix amb la intenció de modelar-los (tornejar-los), ja sigui amb les mans en el cas del fang, o bé amb les eines apropiades en el cas del ferro o la fusta. Els torns de gerrer o de terrissaire són, lògicament, quasi tan antics com la roda i els primers podrien haver-se inventat durant el 4t mil·lenni aC a Mesopotàmia. Les peces tornejades tenen la propietat que qualsevol secció perpendicular a l'eix de gir, presentarà un perímetre circular. És el cas d'escudelles, greixoneres, olles, gerres, plats, tasses, tassons, brulloles, cossiols, xicres, alfàbies, etc. Si escrivim el perfil d'una peça com una funció en què l'eix de rotació prengui el paper de les abscisses, llavors el càlcul del volum que inclou la superfície d'aquest cos de revolució és una senzilla integral.

(Fotografia: CentMat, el ceramista Toni Vich al torn)

5. Transportadors d'angles

Els sumeris comptaven de 60 en 60. Tal vegada per això, a l'hora de dividir una volta completa en parts iguals, escolliren sis vegades seixanta. Com ho haguéssim fet nosaltres?

Els angles ens permeten, entre moltes altres coses, mesurar l'obertura de dues línies. Fa uns 5000 anys, els sumeris van dividir la circumferència en 360 parts iguals anomenades graus (derivat etimològicament de graó, passa). Cada grau fou dividit alhora en seixanta parts més menudes, que per aquest motiu anomenam minuts. Finalment, es va fer una segona divisió dels minuts en seixanta parts més petites que, per no confondre, no es varen anomenar minuts, sinó segons. Així, si s'haguessin dividit els segons en seixanta parts, segurament s'haurien anomenat tercers.

(Fotografia: Centre d'Aprenentatge Cientificomatemàtic CentMat)

6. El descobriment de pi

Què passa quan dividim la longitud d'una circumferència en trossos de la mateixa llargada que el seu diàmetre? Depèn, aquest resultat, de la grandària de la circumferència?

Sabem que els escribes sumeris, entorn de l'any 1900 aC, ja havien descobert que la longitud de qualsevol circumferència era, sempre, una mica més de tres diàmetres, concretament 3 + 1/7 (que ens dona un valor de 3,1428...). Dels papirs egipcis (especialment el papir Rhind, còpia d'un document del s. XIX aC) en podem deduir que aquests en postulaven un valor aproximat de 3,16. El símbol de la lletra p es va utilitzar per primera vegada a principis del s. XVII i fa referència a la inicial grega de perímetre o perifèria. p és un nombre irracional (té infinites xifres decimals no periòdiques) i és transcendent, és a dir, no és solució de cap equació polinòmica de coeficients racionals. L'any 2021, un grup de matemàtics suïssos en va calcular 62,8 bilions de xifres decimals.

(Imatge: a partir de L'escriba assegut (Wikimedia cc), Egipte, 2400 aC. Museu del Louvre)

7. L'harmonia de les esferes

Per què qualsevol persona, malgrat que no tengui cap tipus de formació musical, és capaç de distingir els sons que, executats simultàniament, són agradables a l'oïda i els que, junts, sonen «malament» (i que anomenam dissonàncies)?

S'atribueix a Pitàgores el descobriment que els intervals musicals naturals, els que són agradables a l'oïda, són aquells que provenen d'una relació numèrica senzilla entre les seves freqüències. Lògicament, Pitàgores no parlava de freqüències, sinó de longituds de cordes o de tubs (que tanmateix tenen una relació directa amb aquelles). Com que el moviment produeix so, per extensió, es va pensar que les trajectòries de les estrelles errants (ara en diem planetes) devien produir també la seva música (inaudible per a l'oïda però no per a l'ànima). Per tant, els radis de gir no podien ser qualsevols sinó que devien estar ben determinats. Aquesta idea passaria per Aristòtil i arribaria fins al s. XVII amb Johannes Kepler, qui escrigué Harmonices Mundi. D'aquesta història deriva el fet que quan algú aconsegueix entendre alguna cosa es digui que està escoltant la música de les esferes.

(Imatge: Tabula III, Orbium Planetarium, il·lustració de J. Kepler a Harmonices Mundi)

8. Els engranatges

T'has fixat en els plats i pinyons d'una bicicleta? Si hem de pujar una costa amb molt de rost, quina grandària de plat i de pinyó ens convé posar respectivament?

En parlar d'engranatges parlam de sistemes composts per dues o més rodes dentades, la funció de les quals és transmetre i o modificar la velocitat de gir entre les diferents rodes. En un engranatge simple, la relació entre el nombre de dents de la roda petita (anomenada pinyó) i el nombre de dents de la roda gran (anomenada plat) és inversa a la relació de velocitats angulars. És a dir, a doble nombre de dents, meitat velocitat. Els mecanismes més antics que es conserven foren trobats a la Xina i estan datats entorn del s. IV aC. A Europa, és famós el mecanisme d'Anticitera, del s. I aC, que seria un giny astronòmic extraordinàriament complex per calcular la posició del sol, la lluna i alguns planetes sobre la volta celeste i que, fins i tot, en opinió d'alguns experts, seria capaç de predir els eclipsis.

(Fotografia: CentMat, engranatges de rodament impossible en un comerç de Palma)

9. La paradoxa de les rodes d'Aristòtil

És fàcil pensar en quantitats finites i molt difícil copsar l'infinit. Sabem que el conjunt dels nombres naturals és infinit. Què passa amb la grandària d'aquest conjunt si li llevam els mil primers nombres?

Aquesta paradoxa, en clau de rodes, ja apareix en un antic text grec, la Mechanica, atribuït a Aristòtil. Imaginem dues circumferències concèntriques. És fàcil admetre que si feim girar una semirecta des del centre, aquesta mena de busca anirà emparellant cada un dels punts d'ambdues circumferències sense que en sobri ni en falti cap (és allò que en teoria de conjunts es diu correspondència bijectiva). Però llavors, com és que les dues circumferències tenen diferent longitud? Aquest problema ja va ser atacat per matemàtics de la talla de Cardano, Mersenne, Galileu, Bolzano... però fou Georg Cantor (1845-1918) qui demostrà que l'infinit de punts (cardinal) d'un segment, és sempre el mateix, independentment de la seva longitud.

(Idea i grafisme: Centre d'Aprenentatge Cientificomatemàtic CentMat)

10. Un teorema d'Euclides

És ben sabut que la suma dels angles interiors d'un triangle fa 180º. Pensant en aquesta propietat, sabríem deduir què sumen els angles interiors de qualsevol quadrilàter?

Els Elements d'Euclides són el paradigma de l'organització axiomàtica clàssica del coneixement geomètric. Concretament els llibres III i IV parlen de les propietats de la circumferència i el cercle. La proposició XXII del llibre III diu que «els angles oposats de qualsevol quadrilàter inscrit en un cercle sempre sumen dos rectes.» Els corol·laris d'aquest teorema són diversos. Per començar, l'angle que des d'un punt qualsevol d'una circumferència abraci un diàmetre serà sempre un angle recte. I també que l'angle que des d'un punt de la circumferència abraci una corda donada serà sempre el mateix, malgrat que aquest punt es vagi movent sobre la circumferència.

(Grafisme: Centre d'Aprenentatge Cientificomatemàtic CentMat)

11. Enrajolar amb cercles

Hi ha figures geomètriques amb les quals podem enrajolar una habitació i altres amb les quals no és possible. Has vist alguna habitació enrajolada amb hexàgons regulars? I amb octàgons regulars?

Tothom sap que no es pot enrajolar una habitació amb cercles perquè aquests no encaixen, és a dir, deixen espais buits. Però, quina seria la millor distribució de cercles de manera que aquests buits siguin el més petits possibles? Si distribuïm els centres dels cercles en una graella quadrada, la superfície recoberta seria del 78,8%, és a dir, quasi quatre cinquenes parts. Però si, en canvi, els distribuïm fent triangles equilàters (en una graella isomètrica, com a la fotografia), llavors la superfície recoberta augmentaria fins poc més del 90 %.

(Grafisme: Centre d'Aprenentatge Cientificomatemàtic CentMat)

12. L'espiral arquimediana

Caragols, galàxies, borrasques i anticiclons, ensaïmades, espiritrompes, falgueres, nervis auditius... per què al món natural i també al civilitzat és tan abundant l'espiral?

Una corda enrodillada sobre la superfície plana d'un vaixell presenta una corba espiral que té la característica que cada volta s'allunya la mateixa distància del centre (cosa que no passa, per exemple, amb les closques dels caragols). Aquest tipus de corba fou estudiat en profunditat per Arquimedes de Siracusa en el seu llibre (perdut) Sobre les espirals i rep, per això, el nom d'espiral arquimediana. Pel fet d'augmentar la distància al centre de manera constant, aquesta corba mai no traça realment una circumferència però, a mesura que torna gran, la seva curvatura és cada vegada més propera a la d'una circumferència. Un vertader amor impossible. Altres exemples d'espiral arquimediana són els centpeus quan es veuen amenaçats, la traça de fibra d'un esportí, etc.

(Idea i muntatge: CentMat)

13. Els cercles d'Apol·loni

T'has fixat en els dibuixos geomètrics de les vidrieres i rosasses gòtiques? En aquest art, el de la traceria, són prou abundants els motius amb cercles tangents?

Apol·loni de Perge (s. III aC) fou un geòmetra i astrònom grec a qui devem l'estudi en profunditat del cercle, l'el·lipse, la paràbola i la hipèrbola (corbes totes elles anomenades còniques perquè es poden obtenir seccionant en la direcció adequada un con). Apol·loni descobrí que si dibuixam tres circumferències de qualsevol grandària (circumferències blaves), tangents dos a dos, sempre podrem dibuixar dues circumferències més (circumferències vermelles), tangents a les tres inicials.

(Grafisme: GeoGebra Clàssic)

14. La tomba d'Arquimedes

Quan algú exclama eureka! fa servir una expressió grega que significa «ho he trobat». Imaginem que posam una esfera dins el cilindre més petit possible, tant d'ample com d'alt. Quina porció de l'espai del cilindre queda lliure?

Arquimedes de Siracusa és considerat un dels savis més grans de la humanitat. Segons una llegenda, les seves últimes paraules abans de morir a mans d'un soldat romà -mentre dibuixava sobre l'arena- haurien sigut Noli turbare circulos meos (no molestis els meus cercles). El que sí sembla certa és la petició que representassin a la seva tomba un dels descobriments del qual estava més orgullós: que el volum i l'àrea d'una esfera inscrita en un cilindre són exactament 2/3 dels d'aquest. La tomba, actualment desapareguda, caigué ben aviat en l'oblit fins que el mateix Ciceró la retrobà, efectivament, amb la representació d'aquella equivalència geomètrica sobre una columna, al costat de la porta d'Agrigent.

(Impressió 3D: Jordi Bardají Cusó)

15. Cercles i espiritualitat

Per què des de ben antic, s'ha associat la idea de la perfecció amb la figura geomètrica del cercle? Per què no un quadrat, o una altra figura?

No hi ha, en la circumferència, cap punt distingible d'un altre, tot és fix, igual, segur, estable. En ell res no comença ni acaba, com una metàfora de l'eternitat i, per això, la figura ha representat en l'Hinduisme i el Budisme el cicle de les reencarnacions. El paradís del Cristianisme, el món perfecte, té forma circular. I en la tradició islàmica, el cercle és també la figura perfecta. La idea d'aquesta perfecció divina ha condicionat fins i tot la recerca cosmològica que, fins a Johannes Kepler (1571-1630), no concebia una trajectòria planetària que no fos circular. Nogensmenys, els mandales hindús, circulars, són una representació de l'univers.

(Fotografia: CentMat, Lledània de la Seu de Mallorca, roda de flors de cera per a la processó del Corpus)

16. Corones tangents

Quantes bolles, com a màxim, poden enrevoltar una altra bolla del mateix diàmetre sobre un pla?

Una de les propietats geomètriques més conegudes del compàs diu que una circumferència es pot envoltar de 6 circumferències iguals, tangents entre si. Si tornam a fer una corona més gran sobre aquesta, les noves circumferències hauran multiplicat per 3 el seu radi, respecte de l'anterior i així successivament. És a dir, que els radis de les circumferències consecutives, a mesura que ens allunyam del centre es troben en progressió geomètrica de raó 3. Això és bo d'entendre si pensam que, cada vegada que construïm una nova corona, els diàmetres més petits de totes les que queden dintre formen, en realitat, una gran circumferència igual que la que acabam de fer.

(Grafisme: CentMat)

17. La quadratura del cercle

Imaginem-nos que tenim una circumferència perfecta feta de filferro. Què passaria si amb la mateixa longitud de línia formàssim un quadrat? Tendrien la mateixa àrea?

La quadratura del cercle és un dels tres problemes irresolubles de la Grècia clàssica. Consisteix a provar de dibuixar un quadrat que tengui exactament la mateixa àrea que un cercle donat, fent servir només regle i compàs (els estris de la geometria euclidiana) i amb un nombre finit de passes. El problema ja fou provat de resoldre pels escribes babilonis, per Arquimedes, per Ramon Llull i per la majoria de matemàtics i matemàtiques importants, fins que més de 2000 anys després, Ferdinand von Lindemann, el 1882, demostrà que era impossible. (La impossibilitat d'aquesta construcció radica en el fet que el nombre p és un nombre irracional transcendent, no algebraic.)

(Fotografia: CentMat, al·legoria de la Geometria al sepulcre de Ramon Llull, Sant Francesc, Palma)

18. El model cosmològic geocèntric

No és ben lògic pensar que són el Sol, la Lluna i els astres els que es mouen al nostre voltant? No és el que veiem a simple vista sobre la volta del cel?

Tot i que ja hi havia pensadors a la Grècia clàssica com Aristarc de Samos (s. III aC) que defensaven que el sol era el centre del nostre sistema, es va anar imposant la idea que la Terra romania immòbil al centre de l'univers i que els astres giraven entorn d'ella. Com que la circumferència tenia l'atribut de línia perfecta i les trajectòries aparents dels astres així pareixien confirmar-ho, el model cosmològic formulat per Plató i Aristòtil entre d'altres, establia unes capes esfèriques on s'anaven situant els diferents astres. De més a prop cap a fora, les successives esferes de gir sobre la Terra corresponien a la Lluna, Mercuri, Venus, el Sol, Mart, Júpiter, Saturn i les estrelles fixes, però les anomalies observades en la direcció i velocitat de rotació d'alguns planetes (especialment Mart), obligaren a reformular aquest model. Per aquest motiu, Claudi Ptolemeu (s. II dC), formulà la teoria dels epicicles, unes trajectòries circulars més petites que feien alguns planetes mentre giraven entorn de la Terra sobre una circumferència més gran.

(Reproducció: Antònia Martorell Mir, Societat Balear de Matemàtiques SBM-XEIX)

19. La taula rodona de Camelot

De quantes maneres poden seure dues persones (posicions relatives d'una respecte de l'altra) en una taula rodona? I tres persones? I quatre?

Una de les propietats més definitòries de la circumferència és l'equivalència de tots els seus punts. En una circumferència perfecta, cada punt té exactament la mateixa «visió» de tots els altres. Aquesta idea és la que governa la taula rodona de Camelot a la llegenda artúrica: el fet que tots els cavallers que la formen són iguals en rang (sempre que la cadira del rei no sigui diferent!). Els membres més famosos de la taula rodona són el rei Artús, Sir Galahad, Sir Lancelot, Sir Perceval, etc. Tot i que no hi ha un nombre fix de membres, si la taula hagués tengut 21 membres, les possibles permutacions de seients ultrapassarien els segons que té la història de l'univers.

(Clicks de Playmobil)

20. L'Ars Magna de Ramon Llull

Si tenim dues rodes concèntriques amb 9 elements cada una, de quantes mareres podem emparellar aquests elements si n'anam rodant una? I si augmentam el sistema a tres rodes, també de 9 elements? Quants terns diferents podríem generar?

Des del moment de la seva «il·luminació», Ramon Llull decidí dedicar la vida a estudiar, investigar, i escriure el millor llibre contra els errors dels infidels. En una primera fase, adquirí un esclau per aprendre àrab, el qual li hauria ensenyat la lògica d'Al-Gatzell. Aquesta podria ser el bessó de les seves rodes combinatòries. Aquests ginys, consistents en rodes concèntriques mòbils, suposen un esforç previ d'identificació de principis, accions i atributs fonamentals. L'Ars Magna és, probablement el primer intent seriós de mecanització del pensament que assenyala Llull com un dels precursors de la informàtica. Nogensmenys, el mateix Gottfried W. Leibniz s'inspirà en l'obra del beat Ramon a l'hora de construir la seva calculadora.

(Imatge: figura 1 de l'Ars Magna de Ramon Llull)

21. El castell de Bellver

Si pensam en castells que hàgim pogut visitar, sense comptar el de Bellver, quines són les formes geomètriques que ens venen al cap? N'hem vist algun altre de rodó?

L'any 1300 es començà a construir la fortalesa de Bellver per ordre de Jaume II amb l'objectiu que fos també residència reial. El buc principal fou realitzat en un període extremadament curt de nou anys. El castell de Bellver és un dels poquíssims exemples de castell de planta circular que existeixen en el món. No tenim documents que avalin la intenció d'aquesta geometria, però el fet és que la circumferència és la figura geomètrica que fa màxima la superfície interior per a un perímetre fixat. És a dir, que amb el mateix esforç de paret, el pati d'armes és més gran que si el castell hagués estat rectangular, o estrellat, o de qualsevol altra forma, mentre conservàs el mateix perímetre. Aquest fet ja era conegut per la matemàtica grega del temps d'Euclides. Així mateix, la fotografia presa sobre un pla esbiaixat respecte del pla del castell ens mostra que aquesta projecció de la circumferència és una el·lipse.

(Fotografia: Juan Antonio Díaz Peñarrubia)

22. L'Oculus Maior de la Seu

La gran rosassa de la Seu, la de llevant, sobre l'altar major, és coneguda també amb el nom d'Oculus maior. Sabries dir per què?

Una de les característiques més importants del gòtic és el tractament de la llum que fa a través de les seves rosasses i finestres vidriades. L'art de dissenyar-les i construir-les s'anomena traceria. En la traceria, el disseny de les línies (motllures i nervadures) que, en principi, han de suportar els vidres es fa quasi sempre a partir d'arcs de circumferència. L'atreviment artístic d'aquest moviment medieval ens ha llegat peces de la categoria de la rosassa sobre el portal de Saint-Étienne a Notre-Dame de París, de 13,1 m de diàmetre interior, o de la rosassa major de la Seu de Mallorca, amb 11,4 m de diàmetre, 1116 vidres i una superfície total de 102 m2.

(Fotografia: CentMat, Oculus Maior de la Seu)

23. Les coordenades geogràfiques

Si tots els meridians són, pràcticament, semicircumferències de la mateixa longitud, per què el meridià de Greenwich és el meridià de referència? Què té aquest meridià d'especial?

Des de ben petits, quan estudiam les coordenades geogràfiques, aprenem que, sobre un model esfèric, els meridians són aquelles semicircumferències que uneixen els pols i que, per tant, tenen tots la mateixa llargada. En canvi els paral·lels, són les circumferències que apareixerien en tallar l'esfera del món en talls paral·lels entre si, tots ells perpendiculars a l'eix de rotació terrestre i, per tant, són més petits com més a prop dels pols són. Cinc d'ells presenten noms especials: els cercles polars (àrtic i antàrtic) que delimiten -fins als pols- les dues zones de la Terra en què, almenys un dia a l'any, el sol es troba 24 hores sobre l'horitzó; els tròpics (de Càncer i de Capricorn), que delimiten -entre si- aquella zona de la Terra en què, almenys un dia a l'any, el sol ocupa una posició perfectament zenital, és a dir, perpendicular a la superfície de la Terra, i l'equador, que és el paral·lel que equidista dels pols i, per tant, és el més llarg.

(Fotografia: CentMat, Detall de l'escala de Can Espanya Serra al carrer Portella de Palma)

24. La conjectura de Kepler

Ens hem fixat alguna vegada en quina és la distribució de la fruita en el mostrador quan aquesta és prou esfèrica com, per exemple, les taronges?

En torn de l'any 1606, Johannes Kepler va formular la conjectura que la millor forma d'apilar esferes perquè ocupin el menor espai possible és distribuir-les en un pla de manera que vagin formant triangles equilàters i, a continuació, anar superposant plans de manera que les esferes del pla superior encaixin amb els buits del pla inferior. Gauss demostrà el 1831 que aquest era el millor sistema sempre que parlàssim d'empaquetaments regulars però no va poder resoldre el cas general. El 1998 Thomas Hales demostrà el cas general, però com que la seva demostració requereix de 3 Gb de programes informàtics, una petita part de la comunitat matemàtica encara no vol donar la demostració com a definitiva. Precisament, la medalla Fields (el Nobel de les matemàtiques) de 2022 fou atorgada a Maryna Viazovska (matemàtica ucraïnesa nascuda el 1984 a Kíev) pels seus treballs sobre l'empaquetament d'esferes en espais de dimensions 8 i 24.

(Bolles de porexpan)

25. El teorema de Tales i els cons

Què passa si deixam rodar lliurement un con sobre una superfície plana? On queda situat el centre de gir d'aquesta figura geomètrica?

En el trull de les tafones antigues, l'oliva era esclafada pel rutló, una gran pedra de forma troncocònica que rodava i voltava sobre el pla d'una altra pedra (la sumola) gràcies a l'energia d'un animal. Abans de la mecanització del s. XX, en general, l'eix de rotació dels rutlons no passava pel centre de la sumola (apuntava més amunt) mentre que, després, l'eix de rotació ja passa per aquest centre. Si tenim present el teorema de Tales, això vol dir que en les tafones antigues, el rutló no rodava de manera uniforme sobre la sumola i, per tant, en realitat, es produïa un efecte de fregament. En canvi en les tafones modernes el rodament és uniforme.

(Fotografies: CentMat, trulls de les tafones de Son Alegre (Marratxí) i de Galatzó (Calvià))

26. L'equació cartesiana

Quants punts té una línia? Infinits? Llavors, com podem (d)escriure tots els punts d'una circumferència?

Des que Descartes relacionà la geometria amb l'àlgebra gràcies als eixos de coordenades, la màgia de la geometria analítica permet encabir els infinits punts d'una corba, superfície, figura... en una equació. Així, anomenam circumferència al lloc geomètric dels punts del pla, P(x,y), que equidisten d'un punt fix anomenat centre, C(a,b). Aquesta distància rep el nom de radi (r). Per tant, en virtut del teorema de Pitàgores, això vol dir que qualsevol punt P(x,y) de la circumferència complirà que (x-a)2 + (y-b)2 = r2. Aquesta equació és coneguda com a equació reduïda de la circumferència.

(Grafisme: GeoGebra Clàssic)

27. Expressions populars

Què significa quan algú diu d'un altre que sempre fa voltes allà mateix? Es pot arribar gaire lluny fent voltes sempre allà mateix?

Segons el paradigma actual del coneixement, no podem separar les matemàtiques del llenguatge. En un àmbit molt més quotidià, les expressions matemàtiques i, en concret, les que fan referència als cercles són prou presents. Així, diem que algú intenta quadrar el cercle quan encalça alguna quimera impossible, o que alguna cosa ha entrat en un cercle viciós (i també que és un peix que es menja la cua) per dir que es repeteix sense escapatòria, de manera contínua. La bellesa del cercle queda patent en l'expressió que alguna cosa ha quedat rodona. Així mateix, en l'àmbit associatiu, són comuns els cercles artístics.

(Muntatge fotogràfic: CentMat)

28. La mesura del món

Si anam des del Pol Nord fins a l'Equador per la línia més curta (un quart de meridià) haurem de recórrer 10.000 km. No és molta casualitat aquest nombre tan rodó?

En l'era Moderna, Issaac Newton fou el primer a postular que la Terra no podia ser perfectament esfèrica i que devia estar esclafada pels pols, com una mandarina, en contra del que postulaven els Cassini i altres savis francesos que l'esclafament havia de ser equatorial, com una llimona. Les expedicions de la primera meitat del s. XVIII a Lapònia i a Perú donaren la raó a l'anglès. La mesura del meridià de París (1792-1799) per Delambre i Méchain per definir el metre patró com la deumilionèsima part del quadrant del meridià terrestre, acabà de confirmar el que ja sabien. Actualment es considera que el radi polar de la Terra és de 6357 km mentre que el radi equatorial seria de 6378 km, cosa que mostra una diferència de 21 km, o sigui, de poc més d'un 0,3 % sobre el radi mitjà. Una diferència realment petita.

(Fotografia: CentMat)

29. L'aritmètica del rellotge

Quin residu obtenim si dividim 15 entre 12? I si dividim 20 entre 12? Què tenen a veure aquests residus amb les hores del dia?

Carl F. Gauss definí, el 1801, a les Disquisitiones Arithmeticae, el concepte d'aritmètica modular. Es tracta de classificar els nombres enters en classes d'equivalència segons el residu de la seva divisió entre un nombre de referència anomenat mòdul. Cada classe d'equivalència està formada per aquells nombres que tenen el mateix residu en fer la divisió pel mòdul donat. Així, si parlam de mòdul tres, tendrem les classes d'equivalència que corresponen als tres residus possibles. Una classe, serà 0 mod(3) i estarà formada per 3, 6, 9, 12.... Una altra classe serà 1 mod(3) i estarà formada per 1, 4, 7, 10... i la darrera serà 2 mod(3) que la formaran 2, 5, 8, 11.... Qualsevol hora del dia en un rellotge, és en realitat l'hora marcada mod(12). D'aquí el sobrenom d'aritmètica del rellotge. Les lletres del nostre DNI són, en realitat, les classes d'equivalència del nostre nombre mòdul 23.

(Rellotge analògic amb xifres hindoaràbigues)

30. Els anells de Borromeu

És possible enllaçar tres anells de manera que no es puguin separar però que, en el cas de trencar-ne un qualsevol, tots tres quedin separats?

Els anells de Borromeu fan referència a l'escut heràldic de la família milanesa Borromeo que té, entre d'altres atributs, tres anells en una posició molt concreta. Les primeres notícies d'aquesta família es remunten a finals del s. XIII mentre que el primer article que mira aquest objecte des d'un punt de vista matemàtic és de 1876 i es deu al físic matemàtic Peter Guthrie Tait (1831-1901). El 1987 Freedman i Skora demostraren rigorosament que aquesta disposició d'anells no es pot aconseguir amb circumferències planes. Però al contrari que en els anells de Salomó, la imatge especular dels anells de Borromeu és topològicament isotòpica. És a dir, movent convenientment els anells sense tallar-los, es pot convertir una disposició donada en la seva imatge (sempre que els tres anells siguin indistingibles).

(Grafisme: CentMat)

31. Registres per transitar

Ens hem fixat en les tapes metàl·liques de registre que, al terra dels carrers, donen accés a les línies telefòniques, conduccions d'aigua, etc.? Quines formes geomètriques solen presentar?

És habitual que les tapes de registre que donen accés a galeries subterrànies transitables per persones, com les del clavegueram o les de les línies telefòniques, tenguin forma circular. Moltes vegades, aquestes tapes són al mig del carrer i, per aguantar el pes dels vehicles, han de ser molt reforçades i feixugues. La geometria de la forma circular ens assegura que, una vegada oberta i amb persones al fons, no hi ha perill que la tapa pugui caure dintre. Si la tapa és quadrada, és obligatori dotar-la de frontisses que evitin aquesta possibilitat.

(Fotografia: CentMat)

32. El teorema de Hopf-Poincaré

Quan passejam per una platja, sovint trobam unes bolles lleugeres de color marró. Sabries dir de quina planta marina són les fibres?

Anomenat també el teorema de la bolla peluda, el teorema de Hopf-Poincaré afirma que és impossible pentinar de forma homogènia i contínua la cabellera que cobreix per complet una esfera sense deixar-hi qualque punt amb un reganyol o coronell. Per exemple, si provàvem de pentinar la cabellera en la direcció dels meridians, sempre tendríem un punt d'on sortirien els cabells (que correspondria en l'exemple al pol nord) i un punt on arribarien tots (que faria el paper de pol sud). Una altra conseqüència d'aquest teorema és la impossibilitat que faci vent en tots i cada un dels punts del món alhora. El teorema de Hopf-Poincaré és estudiat dins la branca de la topologia diferencial.

(Fotografia: CentMat, bolles de Posidonia oceanica)

33. Vassili Kandinski

L'art abstracte afavoreix el procés de la imaginació. Què hi veus en aquest famós quadre?

Nascut a Moscou (1866-1944), Kandinski és un dels més clars exponents de la pintura abstracta desenvolupada a Europa durant les primeres dècades del segle XX. Segons ell, un cercle és la síntesi de les majors oposicions. Combina el concèntric i l'excèntric en una única forma i en equilibri. De les tres formes primàries, és la que apunta més clarament a la quarta dimensió. Els colors han d'abandonar les figures on es troben subjectes per expressar lliurement idees i emocions. Una de les seves obres més conegudes i treballades a l'escola és l'aquarel·la sobre paper «Estudi de color: quadrats amb cercles concèntrics.»

(Imatge: Color Study, Squares with Concentric Circles, 1913, Vassili Kandinski, Wikimedia commons)

34. El teorema de Johnson

Quantes figures diferents podries fer amb tres circumferències iguals? De quantes propietats geomètriques podríem parlar?

Quan tres circumferències del mateix radi comparteixen un punt (vermell), els altres tres punts que comparteixen dues a dues (verds) formen part d'una quarta circumferència que presenta, també, el mateix radi. Aquest teorema, digne de la geometria d'Euclides, fou descobert i demostrat per Roger Arthur Johnson (Massachusetts 1889-1954) el 1916 i se sol esgrimir com a prova que segurament encara queden moltes propietats elementals de geometria per descobrir.

(Idea i muntatge: CentMat, discos de vinil)

35. Dendrocronologia

Per què el creixement anual d'un arbre queda marcat en forma de línies visibles més o manco circulars quan en seccionam el tronc? Quin és el factor que provoca aquestes marques de creixement cícliques?

La dendrocronologia s'encarrega d'estudiar i datar els anells de creixements dels arbres. La tipologia d'aquests anells depèn, lògicament, de cada espècie, però el seu estudi ens aporta moltíssima informació. A part de l'edat d'un arbre, a partir de la forma i la gruixa dels seus anells podem saber com estava orientat, quina climatologia va correspondre als anells observats, períodes de sequera, etc. Teofrast (322 aC) fou el primer en parlar-ne. Leonardo da Vinci, el primer a relacionar la climatologia amb la seva gruixa. Però fou un astrònom, Andrew E. Douglass, qui va impulsar la dendrocronologia com a ciència amb la intenció de relacionar els anells, la climatologia i les taques solars.

(Tall d'una soca de pi. Agraïm la col·laboració de la serradora de Can Just, Inca)

36. Galatea de les esferes

És aquest un famós quadre del pintor de Cadaqués, Salvador Dalí, en què expressa la seva admiració i entusiasme per la ciència contemporània i, en concret, per la biologia molecular. Com aconsegueix fer-nos veure una cara gairebé completa a partir de bolles separades?

Ja des de la Grècia Clàssica, els filòsofs pensaven la natura composta per partícules indivisibles (àtoms) que imaginaven com una mena de petites esferes. John Dalton (final s. XVIII) encara ho feia així. A partir de Joseph J. Thomson i Ernest Rutherford (s. XIX-XX) cada àtom es descompon en multitud d'esferes més petites que són els protons, neutrons i electrons. Però amb l'arribada de la mecànica quàntica, aquests models simples desapareixen del panorama científic modern per endinsar-se en un espai de funcions probabilístiques.

(Imatge: Galatea de las esferas, 1952, oli sobre tela, 65 x 54 cm, Salvador Dalí)

37. Joguines rodones

Quins jocs et venen al cap si penses en la figura de la circumferència? I en les esferes?

La circumferència forma part d'alguns jocs tradicionals que foren molt populars durant segles. És el cas del joc de les anelles en el qual a partir d'una estaca clavada al terra, els jugadors miraven d'enfilar-hi una anella o ferradura. L'altre joc que fou molt popular fins a mitjan s. XX fou el del cèrcol. Aquest consistia a fer córrer un cèrcol de ferro, prou gran, mantenint-lo en equilibri amb l'ajut d'una vareta normalment també metàl·lica. A Catalunya és conegut amb el nom de la rutlla. A Menorca, la dita pitjar el cèrcol significa, segons el diccionari d'Alcover-Moll, ser molt exigent, obrar amb energia. Així mateix, els jocs en què els participants han de formar una circumferència són més que abundants. L'altra joguina de tradició mil·lenària, reinventada a principis de la segona meitat del s. XX, va ser el hola hoop.

(Fotografia: CentMat, el nen de la rutlla, obra de l'artista noucentista Joaquim Ros i Bofarull)

38. Puntillisme

Què passa amb el detall d'una pinzellada quan miram un quadre, des d'una certa distància?

El puntillisme és una tècnica pictòrica que consisteix en la creació d'imatges que són captades com una sola a partir de punts diminuts. A una distancia determinada aquestes unitats diminutes, normalment de colors purs, es mesclen òpticament i el resultat produeix una gamma de colors tan gran com qualsevol barreja de pigments. De la mateixa manera que existeixen relacions matemàtiques entre els diversos tons musicals, hi ha relacions físiques entre els colors. El principal impulsor i representant del puntillisme pictòric fou el parisenc Georges Seurat (1859-1891). Una de les icones del puntillisme del s. XX és el còmic de la noia rossa de Roy Lichtenstein. Actualment aquesta és la tècnica que, en realitat, s'empra en els tatuatges i en qualsevol imatge tractada digitalment a través dels píxels.

(Imatge: Infermera, 1964, oli sobre tela, 121.9 x 121.9 cm, Roy Lichtenstein. Col. privada)

39. La circularitat

En molts d'envasos trobam aquest símbol com a senyal que es poden reciclar. Per què deu tenir aquesta forma gairebé circular?

El britànic James E. Lovelock formulà el 1969 la famosa hipòtesis Gaia segons la qual el conjunt de la Terra, però especialment l'atmosfera, la biosfera i les capes geològiques de la superfície... es comporten com un vertader supraorganisme capaç d'autoregular-se. En un sistema gairebé tancat pel que fa als materials, la circularitat és essencial. És a dir, els processos que regulen els canvis (fases de l'aigua, creació i desaparició d'organismes, modificació del relleu...) produeixen -a nivell local- uns residus que són la matèria primera per a altres cicles. Però si tenim en compte el sistema total, l'organisme Gaia, en realitat no hi ha residus, només una transformació contínua en equilibri on res no es guanya ni es perd. Tot està interconnectat.

(Muntatge fotogràfic: CentMat)

40. Il·lusions òptiques circulars

Fa més de 2000 anys, els primers filòsofs grecs de la història ja es feien aquesta pregunta: ens podem fiar dels nostres sentits?

Per què aquests dibuixos fan la sensació d'estar en moviment? Per què hi ha corones circulars que fan la sensació de girar cap a l'esquerra i altres cap a la dreta? Fixa't en l'alternança dels colors (lila, negre, verd). Una possible explicació d'aquest tipus d'il·lusió òptica és el que s'anomena retard neuronal. Aquest fet es basa en el temps que passa des que un raig de llum arriba a la retina i aquest estímul és processat pel cervell, i que és aproximadament d'una dècima de segon. Segons Mark Ghangizi (NY), això produeix una mena de percepció futura en la qual els humans, que sabem d'aquest retard, per poder actuar en temps real, en realitat estam creant constantment imatges avançades del que suposam que està passant.

(Imatge: Cmlgee, idea de Trent Steel, Wikimedia commons)

41. Cercles i fractals

Eugène Delacroix, pintor romàntic francès, deia als seus alumnes que s'havien de fixar que un arbre estava format, en realitat, per arbres més petits. Què significa això?

Les fractals són objectes matemàtics, especialment importants en el món de la geometria i de les funcions, que presenten unes propietats molt curioses i interessants. Per simplificar, podríem dir que una fractal es genera a partir d'una idea senzilla encaixada dins ella mateixa de manera infinita. Per exemple, dins un cercle, col·locam 7 cercles iguals i tangents i buidam el del mig. Amb els 6 que queden, tornam a fer el mateix. Amb els 36 que queden, tornam a buidar... Les geometries així obtingudes solen presentar la propietat de l'autosemblança, és a dir, que un bocí petit pot ser igual o molt paregut a un bocí molt més gran. I poden créixer o decréixer infinitament. Benoît Mandelbrot (Varsòvia 1924-2010) formulà el concepte de fractal a partir d'estudis sobre economia i descobrí que la natura utilitza amb freqüència la tècnica fractal. És el cas de moltes estructures botàniques, creixements minerals, línies de costa, etc.

(Imatge: fractal de Mandelberot)

42. Yayoi Kusama

Quan dibuixam un punt, feim en realitat una taca més o menys circular, és a dir, agrupam un conjunt infinit de punts. Per què, si un punt no té superfície, es pot veure?

Nascuda a Matsumoto (Japó 1929), aquesta artista va començar a pintar des de ben petita per alliberar-se de les seves al·lucinacions: els punts venen, volen i cauen en el meu vestit, enterra, per la casa, pel sòtil... i jo els pint. Aquesta és la idea de les seves fonts. Encara que no està lligada a cap moviment en concret, en la seva obra es reconeix l'art Pop, l'art Minimalista i l'art Feminista. Treballa la pintura, l'escultura, les performances i les instal·lacions. Els temes de les seves obres també són recurrents: carabasses, que representen la part positiva dels seus problemes, l'estabilitat i les comoditats. Les flors representen la vida i la mort, la masculinitat i la feminitat, la festa i el dol. Els punts són sòlids i infinits. Són una forma de vida. Sol, lluna , estrelles. Són cents de milions de punts. Els punts no poden existir per si mateixos, només poden existir si es reuneixen amb altres i formen part de l'eternitat.

43. Urbanisme circular

Quan miram el traçat dels carrers d'una ciutat, aquest ens dona pistes de la seva història. Els romans, per exemple, quadriculaven el terreny on havien de començar a construir-les. Però gairebé mai trobam ciutats o illetes de cases de forma circular. Per què?

Gairebé totes les civilitzacions han quedat fascinades per la màgia del cercle. Podem trobar estructures circulars des dels monuments megalítics com Stonehenge als poblats africans, des dels pobles indígenes nord-americans a les runes perses i musulmanes, etc. Protegir una ciutat mitjançant una murada circular suposa una economia de recursos, la línia perimetral no té punts foscos de visió i la forma radial dels carrers és la manera més fàcil i ràpida de comunicar-se amb el centre. Però no tot són avantatges, el cercle requereix que la geografia del lloc sigui plana i presenta certes dificultats a l'hora de fer créixer barris propers. Així i tot, urbanistes de diversos llocs del món continuen explorant les propietats habitables d'aquesta geometria.

(Fotografia: Google Maps. Urbanització de Brondby Haveby, Dinamarca.)

44. Jan Kalab

El cercle és una figura geomètrica de concepció senzilla però, és igualment senzill perfilar les voreres d'un cercle pintant-les amb pintura acrílica? I tallar, de manera ben precisa, una fusta de forma circular?

Nascut a Txèquia (1978), va estudiar a l'Acadèmia de Belles Arts de Praga. L'any 2000 va impressionar el públic de Nova York pintant cotxes sencers i, com a artista lligat a l'art urbà des dels seus inicis, la seva investigació el dugué a desenvolupar el concepte de graffiti en 3D. Amb el temps, les seves formes es van fer cada cop més geomètriques. Va utilitzar quadrats i cercles de colors com a vocabulari obsessiu per a infinites variacions al voltant de la profunditat, el temps i el moviment. Jugar amb cercles transmetia imperfecció orgànica i s'involucrava en el seu treball. El cercle representa, en la seva obra, dos oposats: esfera i forat.

45. Bombolles de sabó

Quantes vegades no hem vist infants jugant a fer bombolles de sabó? Potser nosaltres mateixos ens hi entretenim encara. Quines matemàtiques s'amaguen rere aquestes efímeres esferes?

Una bombolla de sabó és una pel·lícula formada per una o diverses substàncies amb la propietat que les seves molècules exerceixen entre sí una forta atracció que anomenam tensió superficial. Quan aquesta superfície és tancada i conté una certa quantitat d'aire, la tensió superficial tendeix a reduir la superfície al mínim. Descobrim així que, per un volum donat, la figura geomètrica que minimitza la superfície és l'esfera. Per això mateix, les gotes de pluja sense vent són esfèriques. I per això mateix, quan tenim fred, ens enroscam com si volguéssim tornar esferes, per disminuir la superfície de pell, que és per on perdem el calor corporal. A la Seu de Mallorca, una tomba amb un infant fent bombolles de sabó ens envia el missatge que la vida és efímera.

(Fotografia: CentMat, tomba central davant el presbiteri de la Seu de Mallorca)

Càlcul de la latitud d'un punt

Josep L. Pol i Llompart — 2022-09-19T02:57:50Z

En el document adjunt, trobareu la manera de calcular amb els vostres alumnes (darrer cicle d'EP i ESO) la latitud del vostre centre educatiu.
És un procediment molt senzill que dona resultats prou acurats. Animau-vos a fer-lo!

- Materials / Educació Primària, Educació Secundària Obligatòria

Idees Rodones

Josep L. Pol i Llompart — 2022-06-29T02:10:33Z

Idees Rodones és un viatge a través de la concepció, la història, les propietats i les aplicacions de les circumferències, els cercles o les esferes.

Lloc i dates: L'exposició romandrà oberta des de dilluns 16 de gener fins al divendres 10 de febrer de 2023 al Centre Cultural de la Misericòrdia.

Adreçada a: públic escolar d'Educació Primària i Secundària (durant els matins de dies lectius, prèvia inscripció) i públic en general (consultau el calendari adjunt d'activitats).

Dinàmica de les visites: La visita guiada per a centres escolars consta de dos mòduls:

A – Espai expositiu
B – Aula de tallers

Cada mòdul té una durada màxima d'entre 25 i 30 minuts. Per tant, la durada total de la visita és d'una hora. Els grups tendran un màxim de 30 alumnes.

Cada dia es podran fer 4 franges de visites amb horaris:

09.30 - 10.25
10.25 - 11.20
11.40 - 12.35
12.35 - 13.30

SOL·LICITUDS DE VISITES:

Al formulari de sol·licituds a partir de l'1 de setembre de 2022

ACTIVITATS COMPLEMENTÀRIES PER AL PÚBLIC EN GENERAL

Podeu consultar el pdf adjunt.

CRÈDITS: L'elaboració de l'exposició ha corregut a càrrec del CentMat i compta amb el suport del Consell de Mallorca i la col·laboració de l'SBM-XEIX en les activitats complementàries.

La distància de seguretat

Josep L. Pol i Llompart — 2020-09-21T00:55:48Z

3. Problema relacionat amb la COVID-19. Es proposa reflexionar sobre la distància de seguretat creant diferent situacions. Material necessari: cordes d'1,5 m.

- Recull de problemes

Travessar un carrer

Josep L. Pol i Llompart — 2020-09-21T00:54:01Z

2. Problema relacionat amb la COVID-19. Es demana com ho faran dues persones per travessar un carrer en direccions contràries i mantenir la distància.

- Recull de problemes

La gestió de l'espai

Josep L. Pol i Llompart — 2020-09-21T00:51:37Z

1. Problema relacionat amb la COVID-19. Es proposa reflexionar sobre la distribució de la gent en diverses superfícies tancades per aprofitar al màxim l'espai guardant la distància de seguretat. Material necessari: monedes de 20 ct.

- Recull de problemes