L'àbac neperià

Josep L. Pol i Llompart — 2017-11-06T01:27:41Z

L'àbac neperià (Napier bones en anglès) és un mecanisme ideat per John Napier (Edimburg, 1550-1617) per facilitar el càlcul elemental, especialment les multiplicacions però també les divisions i les arrels quadrades.

Es tracta d'un conjunt de fustes o llistons en cada un dels quals hi trobam una taula de multiplicar. Les fustes, en el quadrat superior, poden prendre qualsevol dels valors de les deu xifres decimals (de 0 a 9) i presenten els resultats de la taula de multiplicar corresponent en quadrats ordenats verticalment. La idea és que, simplement juxtaposant convenientment les tauletes, podem obtenir ràpidament la taula de multiplicar de qualsevol nombre, per gran que sigui.

Per fer-ho, tal com mostra la següent imatge en el cas del 958, simplement s'han de sumar, per cada línia, els parells de nombres que comparteixen diagonal.

Origen

Aquest àbac té l'origen en l'algoritme de la multiplicació que era utilitzat en el món àrab des de feia segles. Ibn al-Bannà (Marràqueix, 1256-1321) explica aquesta manera d'operar en la seva obra Talkhis amal al-hisab (Sumari d'operacions aritmètiques). Fixau-vos en aquest cas, com la multiplicació de 53 x 25 es converteix en una simple suma de diagonals. (En el mètode original, la posició dels operadors no és la mateixa).

Obtenir la peça

L'àbac neperià de la fotografia, en fusta de faig, fou encarregat a Tolo Garau, ja que la seva empresa treballa tot el que sigui gravat amb làser sobre fusta i altres materials (http://www.garau-publicidad.com/).

També podeu fer la versió en paper, adequada per al seu ús escolar. La podeu trobar en l'apartat de documents de l'activitat Multiplicar és divertit: És l'annex 3, tauletes de Napier.

Activitats didàctiques

Nivell de 3r a 6è d'Educació Primària. Emplenar ("programar") les tauletes de Napier en paper i practicar després les multiplicacions.
Fer un concurs de velocitat de taules de multiplicar. En parelles de dos, els alumnes escriuran la taula de multiplicar d'algun nombre de dues o tres xifres. Una parella ho farà amb l'àbac neperià i l'altra amb una calculadora electrònica.

Vídeos

Vídeo de l'SBM-XEIX on s'explica el maneig de l'àbac neperià en ocasió del IV Centenari de la mort de John Napier
http://xeix.org/noticies/article/iv-centenari-de-la-mort-de-john
Vídeo en anglès per veure com es poden fer divisions i arrels quadrades
https://www.youtube.com/watch?v=prvIM-96SSs

Gràcies a aquest estri i a l'invent dels logaritmes, Napier alleugerà en gran mesura el treball calculístic dels matemàtics de l'època. Tant és així, que Pierre Simon de Laplace diguè de John Napier que "amb la reducció del treball de diversos mesos de càlcul a uns pocs dies, l'invent dels logaritmes semblava haver duplicat la vida dels astrònoms".

El con d'Apol·loni

Josep L. Pol i Llompart — 2017-10-15T12:32:41Z

El con d'Apol·loni és un con material al qual se li han fet quatre seccions en les direccions adients per obtenir el perfil d'una circumferència, una el·lipse, una paràbola i una hipèrbola.

Quan el tall és perpendicular a l'eix del cilindre obtenim la circumferència. Si el tall és una mica esbiaixat però segueix produint una línia tancada, llavors obtenim una el·lipse. La primera corba que ja no és tancada (i per tant el seu eix és paral·lel a la generatriu del con) produeix una paràbola. Finalment, si seguim esbiaixant el tall obtenim tota la família d'hipèrboles possibles.

Vist d'aquesta manera, la circumferència només seria un cas particular d'el·lipse i la paràbola el cas de transició entre les el·lipses i les hipèrboles.

Tot i el nom, el fet de reconèixer totes aquestes quatre corbes com a filles d'un mateix objecte no és segurament obra d'Apol·loni de Perge (al voltant de 262 aC - al voltant de 190 aC), però ell va ser el primer que va sistematitzar tot el coneixement que es tenia sobre aquestes corbes en el llibre Sobre les seccions còniques.

Obtenir la peça

Tot i que existeixen des de fa estona reproduccions del con d'Apol·loni en diversos materials (metall, plàstic...) l'exemplar de la fotografia està fet amb llenya de roure i és obra del torner Francisco Treceño (Valladolid). És un treball extraordinari que pensam que s'ho paga tenir i que es pot veure al web www.artmadera.com

En ocasió de l'any 2000 com any mundial de les matemàtiques, la ceramista portolana Pilar Sastre feu una magnífica reproducció en ceràmica per a l'exposició Arts Matemàtiques (Palma, 2000).

Activitats didàctiques

Veure la pel·lícula dirigida per Alejandro Amenábar Àgora, disponible en DVD, on es condensa l'evolució dels conceptes astronòmics de gairebé un mil·leni en la persona d'Hipàtia d'Alexandria. Recomanable en general a partir de 3r d'ESO.
Desenvolupar les còniques a partir de plegar paper (mirau els vídeos).
Fer l'el·lipse amb el mètode del jardiner.
Dibuixar l'ombra d'un objecte puntual sobre una superfície plana (paret, terra...) al llarg de diversos moments durant una jornada escolar. Traçarem així una magnífica i ben real hipèrbola. (En els equinoccis en realitat seria una recta, i com més lluny dels equinoccis, més corbada serà la hipèrbola)
Experimentar amb les eines del GeoGebra

Vídeos

Fragment d'Àgora on es presenta el con d'Apol·loni
https://www.youtube.com/watch?v=KzvQuEgDRNs
Fragment d'Àgora on es traça l'el·lipse pel mètode del jardiner
https://www.youtube.com/watch?v=DNo-0By5384
Introducció i construcció de la paràbola en paper (en anglès):
https://www.youtube.com/watch?v=wtk5q8wGAe0
Construcció de la hipèrbola en paper (en anglès):
https://www.youtube.com/watch?v=nEISCCjObPg
Construcció de l'el·lipse en paper i explicació de perquè ho és (en anglès):
https://www.youtube.com/watch?v=pSTa8a36RCU