SBM-XEIX

T1 Ep.8 - Un problema de rondalla

Josep L. Pol i Llompart — 2020-06-18T13:45:24Z

Aquesta investigació pretén descobrir quina és la fórmula senzilla per calcular el número total d'ordenacions possibles i diferents d'un conjunt d'elements. És allò que en matemàtiques anomenam permutacions. (És important tenir en compte que sempre col·locam tots els elements, i que tots ells són diferents.)

A més, per fer-nos una idea del gran que pot arribar a ser aquest nombre, calcularem el temps que tardaríem en fer totes les ordenacions, per a cada cas, si en féssim una diferent cada segon fins exhaurir-les totes.

n= 1

Si només tenim 1 element, només tenim una possibilitat. P(1) = 1

n= 2

Si només tenim 2 elements (per exemple A i B), tendrem

AB, BA

Dues possibilitats. P(2) = 2

En realitat, hem de pensar que hem d'afegir un segon element a la única possibilitat que teníem amb un element. Aquest segon element, es podrà col·locar a la dreta o a l'esquerra. És a dir, 2x1.

n= 3

Introduïm ara un tercer element "C". Aquest podrà anar a l'esquerra, enmig o a la dreta de cada parella del cas anterior.

AB... CAB, ACB, ABC,
BA... CBA, BCA, BAC

Hem multiplicat per tres totes les possibilitats del cas anterior. Total, sis possibilitats. És a dir, 3x(2x1). Per tant, P(3) = 6

n= 4

Introduïm ara un quart element "D", que podrà anar a cada una de les quatre posicions possibles per cada ordenació anterior de tres elements.

CAB... DCAB, CDAB, CADB, CABD,
ACB... DACB, ADCB, ACDB, ACBD,
ABC... DABC, ADBC, ABDC, ABCD,
CBA... DCBA, CDBA, CBDA, CBAD,
BCA... DBCA, BDCA, BCDA, BCAD,
BAC... DBAC, BDAC, BADC, BACD

Hem multiplicat per quatre totes les possibilitats del cas anterior. Total, 4x(3x2x1). Si tenim 4 elements, tendrem doncs 24 possibilitats. P(4) = 24

n! (factorial d'n)

Si ens hi fixam, per calcular el nombre d'ordenacions d'un conjunt d'elements, s'ha de calcular el producte dels nombres naturals consecutius descendents a partir del nombre d'elements. En matemàtiques direm que calculam el factorial del nombre de partida i escriurem n!. És a dir:

5x4x3x2x1 = 5! (i es diu cinc factorial) Per tant, 5! = 120

7x6x5x4x3x2x1 = 7! (i es diu set factorial) Per tant, 7! = 5040

Els nombres factorials tenen un creixement sorprenent. Fixau-vos si no, en la taula següent que recull els factorials fins a 20 i el temps que tardaríem en fer per cada cas totes les ordenacions possibles si en féssim una cada segon.

Si ens hi fixam, veurem que el nombre d'ordenacions possibles de 20 elements (només 20 elements!) traduït a segons, és quasi 6 vegades la història de l'Univers. I cada història se estima en 13.500 milions d'anys.

En el cas dels 24 toms de les rondalles, el temps necessari per fer totes les ordenacions possibles a una per segon seria:

24! = 620448401733239439360000 s (aprox. 1 milió i mig d'històries de l'univers)

Increïble, no?

T1 Ep.7 - Un enigma rodó

Josep L. Pol i Llompart — 2020-06-15T07:30:28Z

Aquesta investigació pretén descobrir el fet que la divisió entre la longitud d'una circumferència i el seu diàmetre dóna sempre el mateix resultat.

Com ben segur hauràs descobert, la divisió proposada dóna com a resultat, sempre, un nombre molt proper a 3,14...

El fet que no sempre surti exactament igual, es deu a dues coses:

Les mesures mai no són exactes (sempre hi ha un petit marge d'error)
Els cercles reals (dibuixats, construïts...) no són mai perfectes

Aquest nombre que surt -3,1415...- es coneix com a pi. El seu nom se sol escriure amb la lletra grega corresponent:

En el següent vídeo, pots veure com es pot fer la divisió geomètrica de la longitud de la circumferència entre el seu diàmetre, de forma prou acurada.

Si vols saber més coses sobre el nombre o les circumferències i cercles, pots llegir aquestes pinzellades de cultura matemàtica:

Circumferències i cercles
El nombre pi

Quadrats quasi màgics

Josep L. Pol i Llompart — 2020-06-12T04:59:26Z

ANAR AL VÍDEO

Què necessitam?
Un joc de fitxes de dòmino

Quadrats amb el mateix resultat

Agafam 4 peces i les col·locam talment com al dibuix. El resultat de la suma de cada fila i columna ha de ser el mateix.

Primera proposta: Resultat 10.
Pensam com ho feim?
Cercam totes les sumes possibles de tres sumands , entre el 0 i el 6, amb resultat 10.
Per exemple: 6+4+0
Intentam seguir un ordre i així no en deixarem cap.
Una vegada que tenim tots els números, cercam totes les combinacions possibles a les peces del dòmino.

6/4 (o 4/6) + 6/0 (o 0/6) + 4/0 (o 0/4)

Suma........Nombres........Fitxes de dòmino
10..................6, 4, 0.................6/4, 6/0, 4/0
10..................5, 4, 1.................

I …ens feim preguntes?

Quantes peces dels dòmino me serveixen per formar els quadrats de resultat 10?
I de resultat 12?
I de resultat 14?
I de resultat 9?
Quants quadrats diferents surten en cada cas?
Feis propostes d'altres quadrats quasi quasi màgics.

Patrons de creixement

Josep L. Pol i Llompart — 2020-06-05T05:02:42Z

ANAR AL VíDEO

Què necessitam?

Un joc de dòmino
Paper i llapis

Propostes de joc

1. Patró de creixement.

Agafam 4 fitxes del dòmino i les col·locam com veis a la imatge. Com que aquest és el forat central més petit que podem aconseguir, li deim 1.

1. Sabries formar altres quadrats amb forats centrals més grossos
2. Quin seria el següent?
3. Quantes peces necessites en cada cas?
4. Pots treure el patró de creixement?
5. Quin serà el quadrat més gros que podem fer amb un joc complet de dòmino?
6. Saps que a Cuba juguen amb un dòmino que arriba fins el doble 9? Quantes peces té?
7. Com ho has calculat?
8. Com dibuixaries la fitxa 7/7?
9. I la 8/8?
10. I la 9/9?

Dòmino i fraccions

Josep L. Pol i Llompart — 2020-06-01T06:50:30Z

ANAR AL VÍDEO

Adreçat a estudiants de 2n cicle d'Educació Primària

Què necessitam?
- Un joc de dòmino
- Un euro i 5 monedes de 20 cèntims
- 4 hexàgons regulars

PROPOSTES DE JOC

1- Classificam fraccions
Agafam les fitxes com si fossin fraccions i les classificam, per exemple:
a- Fraccions igual a la unitat
b- Fraccions pròpies
c- Fraccions impròpies
d- Fraccions igual a 0

2- Representam fraccions
Representa amb monedes de 20 cèntims les fraccions de denominador 5.

3-Cercam fraccions equivalents
Amb l'ajuda de l'hexàgon regular (UNITAT) cercam fraccions equivalents a :
1/3, 1/2, 2/3

4-Sumam fraccions amb el mateix denominador
Cercam totes les maneres de fer sumes amb resultat:
6/6 ,5/5, 4/4, 3/3

5-Restam fraccions amb el mateix denominador

I…ens feim preguntes
Quan clasificam les fitxes...
1-Què observes del grup b i c (fraccions pròpies i fraccions impròpies)?
2-Hi ha alguna peça que no entri a cap dels grups?

Quan representam
1-Quina figura geométrica és millor per representar les fraccions de denominador 4, 3 o 2 ?

Article per veure la secció

Josep L. Pol i Llompart — 2020-05-28T00:36:57Z

Fet

- Miscel·lània

Dòmino

Josep L. Pol i Llompart — 2020-05-26T11:14:31Z

ENLLAÇ AL VÍDEO

Què necessitam?

Un joc de fitxes de dòmino
Una línia, o regle, o cordell...

Propostes de joc

- Individual
Intentam fer una línia clàssica amb totes les fitxes. Com a variant, es poden col·locar en paral·lel els dobles, obrint així noves vies de camí.

- Fitxes amb el mateix nombre de punts
Es pot jugar individualment, però té molta més gràcia jugar dos contrincants. Es reparteixen algunes fitxes. Algú posa una fitxa a un costat de la línia, i l'altre ha d'igualar la suma de punts amb una altra fitxa.

- Major i menor
Es reparteixen algunes fitxes (o totes). Sense veure-les, cada jugador descobreix una fitxa. El que té la suma de punts més gran, guanya les dues fitxes. Si hi ha empat, una per hom. Guanya la partida qui té més fitxes.

- Classificació
Es pot jugar tant individualment com en grup. Es pensa un criteri per dividir les fitxes almanco en dues classes (grups). Per exemple dobles o no, suma parell o senar, relació de paritat entre els dos nombres de la fitxa (2 parells, 2 senars, 1 de cada), fitxes simètriques... Aquí allò important és que els alumnes trobin un criteri de classificació.

- Preparam sumes i restes
Aprofitant el doble nivell de les fitxes, s'ajunten dues fitxes i se llegeix un nombre de dues xifres a dalt i un de dues xifres abaix. Es mira si tenim una fitxa que presenti el resultat de la suma o la resta corresponent.

- Fem quadrats cada vegada més grans
Enllaçam les fitxes de manera que tanquem el camí en un quadrat, i anam afegint fitxes per fer créixer el quadrat. Fins on podrem?

- Enllaçam quadrats
Podem enllaçar quadrats construïts a partir de les puntuacions que tenen els vèrtexs

- I... ens feim preguntes!

Quin és el quadrat més gran que puc fer?
Quina és la suma de resultat més alt?
Puc fer sumes de més de dos sumands?
Quants criteris de classificació he trobat?
Quina és la resta de resultat més alt?
Quantes parelles puc fer que tenguin el mateix resultat?

T1 Ep.6 - Acer recobert de coure

Josep L. Pol i Llompart — 2020-05-19T11:57:09Z

Aquesta investigació pretén descobrir amb molta precisió quin és el diàmetre de les tres monedes més petites de curs legal: 1 cèntim, 2 cèntims i 5 cèntims d'euro.

Per fer-ho, s'han d'anar col·locant monedes totes iguals i tangents (que se toquin) sobre un regle, fins que el total marqui un nombre de centímetres enter (vulgarment diríem exacte, encara que aquesta expressió no és correcta quan feim una mesura).

En el cas de la moneda d'1 cèntim d'euro, tenim que...

...8 monedes fan 13 cm. Per tant, cada moneda farà 13/8 = 1,625 cm

En el cas de la moneda de 2 cèntims d'euro, tenim que...

...8 monedes fan 15 cm. Per tant, cada moneda farà 15/8 = 1,875 cm

I pareix que si seguim la successió establerta fins ara amb la moneda de 5 cèntims...

...8 monedes faran, efectivament, 17 cm! Per tant, cada moneda farà 17/8 = 2,125 cm.

D'aquesta manera, amb un regle que només dóna dècimes de centímetre (mil·límetres), hem aconseguit una precisió molt superior, gràcies a l'acumulació de la mateixa mesura (moneda). Aquesta és un tècnica molt important que val la pena conèixer.

Si voleu saber més coses sobre les monedes, podeu mirar aquesta pinzellada de cultura matemàtica.

(El títol d'aquest capítol respon al fet que la composició d'aquestes tres monedes és acer amb un recobriment de coure que li dóna aquest aspecte vermellós.)

Taules de multiplicar fins al 6

Josep L. Pol i Llompart — 2020-05-14T03:08:14Z

ENLLAÇ AL VÍDEO

Què necessitam?

2 jugadors
2 daus
2 bolígrafs o retoladors de colors diferents
1 full de paper

Analitzam el joc

Per què feim un quadrat de 6x6?
Què tenen d'especial els quadrats de la diagonal?
Seria el mateix marcar l'altra diagonal?
Què m'ha de sortir als daus per poder emplenar 2 quadrats d'un cop?
I 4 quadrats?
És possible emplenar 3 quadrats?
Podem fer el mateix joc sumant els resultats dels daus? Què canviaria?
Com ho podríem fer per practicar les taules fins al 10?

Qui guanya

Pots establir un altre criteri per decidir qui guanya?

T1 Ep.5 - Un camí helicoïdal

Josep L. Pol i Llompart — 2020-05-11T05:23:43Z

Aquesta investigació pretén descobrir quina figura plana es genera en tallar un tub de paper higiènic per l'hèlice que du marcada, i quants de tubs diferents es poden reconstruir a partir d'aquesta figura.

La primera qüestió és relativament senzilla, però no per això deixa de ser sorprenent. Una corba prou complexa, la hèlice, es transforma en una simple recta inclinada en tallar el tub, mentre que les circumferències extremes del cilindre inicial, també es transformen en dos segments rectilinis.

Això fa que el cilindre es transformi en un paral·lelogram. Concretament en un romboide.

Si ara tornam enrevoltillar el paral·lelogram igual que abans, ajuntant els costats llargs, recuperarem el cilindre original, però si l'enrevoltillam pels costats curts, llavors ens sortirà un cilindre de diàmetre més ample però d'alçada inferior.

És molt interessant fer notar que el sentit de gir de l'hèlice en un i en l'altre cas canvia. És a dir, que si el cilindre presenta una hèlice dextrogira (en el sentit de les busques del rellotge), en reconstruir el cilindre curt llavors serà levogira (contrària a les busques del rellotge).

Si, una vegada obtingut el romboide, doblegam el cartó cap a la cara contraria de la que té el vici, llavors obtindrem els dos mateixos cilindres però aquests, invertiran el gir de la seva hèlice respecte dels seus homòlegs doblegats cap a l'altre costat.

Per tant, estrictament parlant, podríem obtenir 2 cilindres diferents si només ens fixam en les seves dimensions, però serien 4 si tenim en compte el sentit de gir de l'hèlice.

(Així mateix, davant aquests dos cilindres diferents construïts amb la mateixa superfície, és molt interessant demanar-se si tendran el mateix volum.)