Espai expositiu

A continuació teniu tots els quadrats i textos que estaran exposats.

1. Els quadrats màgics

Anomenam quadrats màgics aquelles graelles quadrades de nombres tals que, el resultat de sumar cada fila, cada columna i cada diagonal dóna sempre el mateix resultat. La primera cita d’un quadrat màgic apareix a la Xina durant el III mil·leni aC (Diagrama Lo shu). El primer tractat exhaustiu sobre la construcció i propietats dels quadrats màgics, escrit l’any 1275, es deu també a un autor xinès, Yang Hui amb el llibre Hsu Ku Chai Chi Suan Fa. En la història de l’art, hi ha dos quadrats màgics especialment famosos: el que apareix al gravat Melangia d’Albert Durer i el de la portalada de la Passió de la Sagrada Família de Barcelona, de l’escultor Josep M. Subirachs.

2. Tres en línia

El joc del tres en línia és segurament un dels més antics que es coneixen. Devers el 1300 aC ja s’han documentat jocs semblants a Egipte. Es tracta d’un quadrat de nou quadrícules on els dos jugadors han d’anar col·locant alternativament les seves peces per intentar alinear-ne tres. Hi ha dues versions del joc: una en la que es van ocupant caselles fins que es completa el quadrat, i una altra en la que cada jugador disposa només de tres peces de manera que quan s’han col·locat les sis, es van canviant obligatòriament les peces posades de lloc. Si els dos jugadors en saben prou, la partida sempre acaba en taules. La pel·lícula "Jocs de Guerra" del director John Badham utilitza aquest fet per demostrar a un ordinador "intel·ligent i rebel" que ningú no hi guanyaria res d’una guerra mundial.

3. L’arrel quadrada de dos

Una de les peces més sorprenents sobre el coneixement matemàtic a l’antiga Mesopotàmia és la tauleta cuneïforme de la col·lecció babilònica de Yale catalogada com a YBC-7289. Es tracta de la representació d’un quadrat amb les seves diagonals en la que hi figuren tres nombres. Per una part el valor del costat, 30. I sobre una de les diagonals, dos nombres: l’arrel quadrada de dos i el resultat de multiplicar-la pel valor del costat. És a dir, el càlcul explícit que la diagonal d’un quadrat es calcula multiplicant el costat per l’arrel quadrada de dos. A més, aquesta constant està expressada amb un error inferior a les centmil·lèsimes.

4. El teorema de Pitàgores

Sense cap dubte, el teorema escolar per excel·lència és el teorema de Pitàgores (s. VI aC). Només sabem coses de Pitàgores per referències externes (ja que sembla que l’escola pitagòrica tenia la norma estricta de no escriure res) però pareix que el mèrit del matemàtic de Samos seria la demostració d’un enunciat que realment ja era conegut quasi dos mil anys abans de la nostra era en terres de Mesopotàmia.

La imatge fa referència al triangle rectangle de costats 3, 4 i 5, el clàssic, tal i com es mostra en el llibre més antic (i un dels més famosos) de la matemàtica xinesa. Fou escrit per Zhou Bi Suan Jing devers els segles III o IV aC.

5. La quadratura del cercle

Un dels problemes geomètrics més famosos de la Grècia clàssica és el de la quadratura del cercle. Es tracta, atès un cercle donat, de construir un quadrat amb la mateixa àrea utilitzant només el compàs i el regle d’un sol caire sense graduar. Sembla que Hipòcrates de Quios intentà resoldre’l ja al s.V aC. El mateix Ramon Llull (s. XIII) volgué donar una solució aproximada fent la mitjana entre els quadrats interior i exterior al cercle, fet que està representat en el seu sepulcre mitjançant el que ell anomena figura plena. No fou fins una mica abans de 1900 que Ferdinand von Lindemann (el 1882) demostrà la impossibilitat de tal construcció. Encara avui en dia, en l’àmbit científic, quan algú intenta alguna cosa impossible es diu que vol quadrar el cercle.

6. Un teorema d’Euclides

Els Elements d’Euclides (s. IV-III aC) passen per ser un dels cinc llibres més editats al llarg de tota la història. Es tracta del major compendi de coneixement matemàtic del món clàssic i consta de 13 llibres. Els quatre primers fan referència a geometria plana i a través d’ells podem conèixer el teorema que afirma que l’àrea del quadrat que circumscriu una circumferència és el doble de l’àrea del quadrat inscrit en aquella circumferència.

La demostració és molt senzilla i només es necessita saber que la longitud de la diagonal d’un quadrat és el valor del costat per l’arrel quadrada de dos. Aquesta proposició ja era coneguda pels babilonis 2000 anys abans de Crist.

7. L’Stomachion d’Arquimedes

Conegut com el tangram d’Arquimedes, l’Stomachion és un joc de característiques semblants al xinès, inventat pel savi grec i al que històricament no se li ha concedit gaire importància. Només després del famós descobriment del seu palimpsest, l’historiador de les matemàtiques el Dr. Netz interpretà que aquest joc apareix junt amb altres tractats de primera categoria perquè, de fet, fou utilitzat pel savi de Siracusa per escriure el que podria ser el primer tractat de combinatòria de la història. La pregunta clau d’aquest joc seria:
Quantes maneres hi ha d’ajuntar les catorze peces per formar un quadrat?

8. L’espiral àuria

La proporció àuria o divina proporció és una constant matemàtica que les matemàtiques han fet servir almanco des de fa més de 2000 anys. Aquesta constant (1,618...) és el resultat de dividir la diagonal d’un pentàgon regular entre el seu costat. La trobam a les targetes de crèdit, al cos de les persones... i a la successió de Fibonacci, aquella en que cada terme s’obté sumant els dos anteriors (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...).

D’aquesta manera, podem construir una espiral àuria a partir de dos quadrats petits de costat 1, que s’ajunten amb un quadrat de costat 2, que alhora s’ajunten amb un de costat 3... Animals com el nàutil o l’ammonit tenen una espiral de creixement ben propera.

9. El blat del tauler d’escacs

Conta la llegenda (almanco des de 1256) que el rei indi Shirham va quedar tan content del joc dels escacs que va prometre al seu inventor, el gran visir Sissa ben Dahir, qualsevol recompensa que pogués demanar. Aquest li digué que es conformava amb un gra de blat per la primera casella, dos per la segona, quatre per la tercera, vuit per la quarta... i així fins a la 64a. El rei se sorprengué per tan modesta petició fins que els seus savis li explicaren que era necessari sembrar tot el món set vegades per accedir a la seva petició. El blat que reclamava superava els 18 trilions de grans.

10. L’home de Vitruvi de Leonardo da Vinci

L’home de vitruvi és potser un dels dibuixos més famosos del savi Leonardo de Vinci. Dibuixat en un dels seus diaris entorn a l’any 1487, inscriu la figura d’una persona simultàniament en un quadrat i en una circumferència. El quadrat queda format a partir de l’alçada de la persona i de l’amplada de la seva braça (de punta a punta dels dits amb els braços estirats). La circumferència se forma amb centre al llombrígol. La divisió entre el costat del quadrat (alçada de la persona) i el radi de la circumferència (alçada del llombrígol) és aproximadament la proporció àuria (1,619...).

11. El quadrat d’una suma

S’atribueix -merescudament- a Descartes i a Fermat l’agermanament de l’àlgebra i la geometria, però el cert és que històricament, especialment en les cultures xinesa i àrab, hi ha diversos exemples d’aquesta col·laboració. No en va, la paraula àlgebra prové de la traducció llatina del tractat que escrigué el matemàtic de Bagdad Al-Khwarizmi.

Fixau-vos com aquesta rajola ens ofereix la demostració visual del quadrat d’un binomi. El costat d’una peça el formen dos segments, un petit (b) i un gran (a) i, per tant, la seva àrea serà (a+b)^2. Llavors, l’àrea formada serà d’un quadrat gran gris (a^2), un quadrat petit negre (b^2) i dos rectangles (2ab) que ens confirmen que es tracta de (a^2 + b^2 + 2ab).

12. La rajola de cartabó

Aquesta rajola quadrada de tradició gòtica (s. XIII), anomenada també de mocadoret (La Bisbal de l’Empordà) o mitadet (Manises), està dividida per la diagonal en dues parts: una de crua, generalment en blanc estannífer, i l’altra en verd de coure o blau cobalt.
Tot i tractar-se d’un model de rajola extremadament senzill, només canviant l’orientació de cada peça, les seves combinacions ofereixen moltíssimes possibilitats de sanefes i mosaics diferents.

13. El quadrivium d’Arquites

La basílica de Sant Francesc de Palma custòdia en una capella del seu absis les despulles de Ramon Llull. El sepulcre d’estil gòtic, obra de Francesc Sagrera i realitzat el 1487, presenta un conjunt escultòric que ens remunta a la Grècia clàssica. En efecte, com a peanes d’escultures no realitzades trobam les al·legories de les set arts lliberals. Les fotografies ens mostren les imatges corresponents al quadrivium d’Arquites de Tarent (s. V aC): aritmètica, geometria, astrologia i música. Un vertader quadrat de coneixement matemàtic. És destacable el fet que la corresponent a l’aritmètica ja fa servir les xifres indoaràbigues.

14. Els eixos cartesians

El 8 de juny de 1637, René Descartes publica a Leiden el seu “Discurs del mètode per guiar bé la raó i cercar la veritat en les ciències, seguit de la diòptrica, els meteors i la geometria, assaigs sobre aquest mètode”, conegut senzillament com a “Discurs del Mètode”. Amb aquesta obra assistim al naixement de la Geometria Analítica. Descartes segueix el camí traçat per Euclides i altres clàssics, però amb la genial idea d’introduir un sistema de referència geomètric que dotarà els punts de l’espai d’unes coordenades -a partir d’ara- cartesianes. Amb les coordenades cartesianes, l’àlgebra es posa a disposició de la geometria i aquesta, dota de significat geomètric les operacions algebraiques.

15. La funció quadràtica

En càlcul deim que multiplicar un nombre per si mateix és fer-ne el quadrat. Això prové del fet que l’àrea d’un quadrat es calcula multiplicant la longitud del costat per si mateix. A partir del segle XVII les matemàtiques viuen l’eclosió d’una nova disciplina, l’anàlisi matemàtica, on els valors de les variables es poden anar canviant i representant.

Devem a Galileo Galilei la demostració que el llançament d’un projectil en un camp gravitatori com el de la Terra descriu una trajectòria anomenada paràbola i que es pot representar perfectament amb una funció polinòmica senzilla de segon grau.

16. Les corbes de persecució

Imaginem que quatre persones parteixen des dels vèrtexs d’un quadrat en sentit horari i en direcció als vèrtexs consecutius. Al cap de poc temps, se n’adonen que la persona a la que se dirigien ja no és al vèrtex i, per tant, corregeixen la seva trajectòria apuntant a la nova posició. Al cap d’una estona tornen a corregir la posició, i hi tornen, i una altra vegada... La línia que formaria la unió de la trajectòria de cada persona s’anomena corba de persecució. Aquest tipus d’espirals foren estudiades per Pierre Bouguer a principis del s. XVIII i es tracta d’espirals logarítmiques. Un exemple real el trobam al parc de Berio Kirol, a Donòstia.

17. El recorregut del cavall

El problema del recorregut del cavall és prou antic. De fet, el mateix Leonhard Euler s’hi dedicà i trobà solucions magnífiques. Hi ha solucions senzilles, altres de cícliques (es poden connectar la casella de partida amb la d’arribada amb un salt més del cavall), altres que construeixen quadrats màgics (com la que donà Euler), etc.

És famós el cas de la novel·la La vida: Manual d’ús, de Georges Perec, l’acció de la qual està construïda segons un esquema del problema del cavall: les finestres de l’edifici on succeeix la narració corresponen a les caselles del tauler i l’acció es succeeix en l’ordre d’una solució al problema.

18. El problema dels 36 oficials

Si d’un joc de cartes prenem els quatre pals de quatre nombres, 16 cartes, i provam de col·locar-les fent un quadrat de 4x4 amb la condició que no hi hagi cap nombre ni pal repetit en cap fila ni en cap columna, llavors haurem fet el que s’anomena un quadrat grecollatí. Euler conjecturà l’any 1779 que la mateixa situació amb 6 exèrcits i 6 oficials de cada exèrcit, és a dir, amb un quadrat de 6x6, no tenia solució. I això ho demostrà Gaston Tarry el 1901. Però Euler també cregué que tampoc hi havia solució per quadrats de 10x10, 14x14, 18x18... i s’equivocà. Els únics que no tenen solució són els de 2x2 i 6x6.

19. L’eixample de Barcelona

El 1854 s’enderrocaren les murades que constrenyien la ciutat de Barcelona. El pla de reforma i eixample fou encarregat a l’enginyer Ildefons Cerdà que va dissenyar l’any 1860 un nou traçat ortogonal, és a dir, amb totes les illetes en angle recte i de costats iguals, cosa que mostra l’aspecte quadriculat tan característic d’aquesta part de la ciutat comtal. Un dels problemes que creen aquests tipus de distribució és la mala visibilitat, que fou millorada amb la creació de xamfrans a totes les cantonades.
(© Ortofotografia propietat de l’Institut Cartogràfic de Catalunya, disponible a www.icc.cat.)

20. La catifa de Sierpinski

Abans que Mandelbrot definís el terme fractal, altra gent havia desenvolupat objectes propis d’aquesta geometria. És el cas de la catifa de Waclaw Sierpinski, matemàtic polonès que descriví aquesta figura el 1916, com també el triangle que duu el seu nom.

La generació d’aquest objecte és, com quasi tots els fractals, fruit d’una idea senzilla: agafar un quadrat, dividir-lo en 9 quadrats, i eliminar el central. Després, amb els 8 quadrats restants, es repeteix el procés i així successivament.

L’arribada dels ordinadors ha permès l’entrada i avenç significatiu en el món dels fractals.

21. Escher i els píxels

El puntillisme és un corrent artístic de finals del s. XIX, emmarcat dins el postimpressionisme, que en comptes de mesclar els colors en la pinzellada, utilitzava els punts de colors purs perquè fos la mirada de l’espectador qui els mesclàs. Aquest és exactament el principi que utilitza la fotografia digital, només que aquí la pinzellada és un quadrat de dimensió prou petita perquè sigui inapreciable.

Dins un altre corrent, gairebé propi, són famosos els gravats i dibuixos de Mauritius Cornelius Escher que utilitzen el quadrat com a cel·la per a la seva increïble transformació en qualsevol animal o objecte ben encaixat.

22. El gargot d’Ulam

El 1963, Stanislaw M. Ulam (qui va participar juntament amb Edward Teller i John von Newman en el projecte Manhattan) es trobava en una reunió científica malgrat que el seu cap feia voltes al tema dels nombres primers. Se li va acudir anar representant els nombres naturals en una espiral quadrada i anar destacant els nombres primers. Ulam descobrí que aquests nombres tenien una marcada tendència a col·locar-se en diagonal. El descobriment fou tan espectacular que Ulam fou portada del Scientifi American el març de 1964.

23. El cub de Rubik

Ernö Rubik (Hungria 1944) és probablement un dels noms més famosos en el món dels jocs. Llançat al mercat hongarès el 1977, s’estima que s’han venut més de 400 milions d’unitats del seu cub en tot el món. El nombre de combinacions possibles per col·locar les seves cares ascendeix a més de 43 trilions. Només fent una mica més de 100 combinacions cada segon podríem quasi acabar-les totes si ens hi haguéssim posat des del primer moment del Big-Bang. En canvi només en 1 g d’hidrògen hi ha 7.000 vegades més molècules que combinacions té el cub. Tomas Rokicki demostrà el 2008 que qualsevol posició inicial pot resoldre’s en un màxim de 22 girs.

24. La quadratura del quadrat

A través del teorema de Pitàgores sabem que el quadrat de molts de nombres es pot escriure com a suma d’altres quadrats de nombres enters (5^2 = 3^2 + 4^2). El que ja no és tan fàcil, és intentar formar un quadrat complet de costat enter a partir d’altres quadrats també de costats enters més petits però amb la condició que tots siguin diferents. Aquest era el problema en el que treballaven alguns matemàtics de principis de segle XX. El 1939 Roland Sprague trobà el primer quadrat de quadrats emprant 55 quadrats diferents. Quasi 40 anys més tard, el 1978, A. J. W. Duijvestjin trobà la solució més petita coneguda fins ara emprant 21 quadrats diferents. S’ha demostrat que no es pot construir cap altre quadrat de quadrats d’ordre inferior (amb menys quadrats).

25. Els codis BIDI o QR

Els codis de barres són, des de 1966, un paradigma de l’ús que se’n pot fer de la geometria i l’aritmètica per codificar informació i que aquest codi sigui manejable mecànicament i àgil. I si el codi de barres té una sola dimensió, la d’una recta (com el làser que el llegeix), el seu successor natural havia de fer el salt a la segona dimensió.

Els bidis (bidimensional) o codis QR foren creats el 1994 per una companyia japonesa. Un sol codi pot emmagatzemar més de 4000 caràcters alfanumèrics i, a diferència dels codis de barres, els codis QR tenen capacitat per corregir certs errors de lectura. La decodificació dels QR es fa normalment a través dels mòbils.

26. Els fractals

Benoît Mandelbrot (1924-2010) és el pare de la geometria fractal. Aquesta nova mirada a les formes de l’univers es pot tractar de resumir dient que la repetició reiterada i sistemàtica d’una idea senzilla ens pot oferir figures inimaginables i, alhora, molt útils per representar la realitat. Aquest fractal de Keith Andersen està construït a partir d’un quadrat que, reiterat en si mateix, escapa de la simplicitat i esclata en figures que tanmateix recorden el seu origen euclidià.

En l’actualitat, la teoria fractal es aplicada a multitud de camps com la medicina, les tècniques instrumentals, l’economia, el disseny... i, com no, l’art.

27. El problema del príncep Rupert

El fet de mirar de foradar un cub massís perquè hi pugui passar per dintre un altre cub igualment gran sembla una beneitura per impossible. Però ja en el segle XVII, el príncep Rupert, nebot del rei Carles I d’Anglaterra, va guanyar algunes apostes amb aquest plantejament. És per això, i arrel de l’obra de John Wallis De Algebra Tractatus que el problema se’l coneix amb aquest nom.

La solució màxima fou trobada pel matemàtic neerlandès Pieter Nieuwland, quasi dos segles més tard, el 1816. En concret, un cub d’aresta A=1 convenientment orientat, es pot foradar perquè hi passi per dintre un altre cub d’aresta A’=1,060660...