El nen té la intel·ligència a les mans (Maria Montessori)

El dia a dia

Idees Rodones: espai expositiu

dilluns 20 de febrer de 2023

Aquí teniu totes les imatges i textos de l’exposició

1. Els cercles primigenis

Deia Ramon Llull que primerament sentim e puxes entenem. Si tancam els ulls, quines són les primeres imatges que ens venen al cap de coses naturals, no creades per les persones, que tenguin forma de cercle o d’esfera?

L’experiència és la millor o, a segons quins nivells, l’única porta d’entrada al coneixement. A la prehistòria, els conceptes de cercle i d’esfera es varen anar forjant a partir d’imatges com la del sol, de la lluna plena, de les ones d’una pedra llançada en un estany, del tall d’una branca, del xap d’una fruita... com també de les gotes d’aigua, dels còdols de platja, de les bolles de posidònia, etc. Ben aviat aquestes figures passaren a formar part de les produccions i del vocabulari d’aquelles societats primigènies.

(Fotografia: Àngel López Jiménez i Rafael Pacheco Hernández)

2. Els cercles a la prehistòria

Com podríem dibuixar una circumferència sense compàs? Quines paraules se t’acuden relacionades amb el cercle, la circumferència i l’esfera? Quin és el gest que fan les nostres mans quan feim una bolla de fang?

Quan en les produccions primitives apareix sovint una figura geomètrica és que el seu concepte s’ha assolit i una nova paraula s’ha incorporat a la llengua. La precisió dels cercles primitius indica, sens dubte, que les persones ja havien descobert les dues maneres més comunes de produir-los: bé pels talls successius perpendiculars a l’eix d’un cilindre (com les llesques d’una branca), bé pel traç d’una línia a distància constant d’un punt amb un compàs de corda o cadena. A les Balears, en són exemples els discs de bronze, les polseres, els anells o els botons dels aixovars prehistòrics, però també les plantes de molts talaiots, els plats i les olles de ceràmica, etc. Nogensmenys, el disc solar fou el símbol de la divinitat en la cultura egípcia, a l’altra riba de la Mediterrània.

(Fotografia: Rafael Blanc Bofarull, talaiot de sa Canova, Artà)

3. La roda

Què fou primer, el zero o la roda? Sempre s’ha dit que un dels millors invents de la humanitat és la roda. Quines coses que feim servir cada dia no podrien existir o funcionar sense la roda?

Les dades que maneja l’arqueologia podrien situar la invenció de la roda entre el 3500 i el 4000 aC. Tot i que és possible que nasqués a diversos llocs alhora, se’n té constància certa a l’entorn de les cultures mesopotàmiques, concretament la sumèria. La idea primitiva hauria sorgit del lliscar d’objectes -com ara blocs de pedra- per sobre de troncs en una superfície relativament plana. Llavors, la innovació tecnològica necessària, la que dona sentit a la roda, passa per la idea de fixar el cercle a l’objecte que s’ha de moure. Això només es pot aconseguir a través d’un eix que permet convertir el moviment de rotació en un moviment de translació lineal, horitzontal, estable i continuu. Devers el 2500 aC, la roda primigènia plena, molt feixuga, evolucionà cap a la lleugera roda de radis.

(Fotografia: CentMat, roda de galera de Palma)

4. El torn de gerrer

Heu provat mai de tornejar una peça de fang? Quines coses necessitam decidir abans de posar-nos-hi? Es poden fer peces de qualsevol grandària?

Anomenam torn a aquell dispositiu mecànic que permet fer voltar pastes o objectes sobre un eix amb la intenció de modelar-los (tornejar-los), ja sigui amb les mans en el cas del fang, o bé amb les eines apropiades en el cas del ferro o la fusta. Els torns de gerrer o de terrissaire són, lògicament, quasi tan antics com la roda i els primers podrien haver-se inventat durant el 4t mil·lenni aC a Mesopotàmia. Les peces tornejades tenen la propietat que qualsevol secció perpendicular a l’eix de gir, presentarà un perímetre circular. És el cas d’escudelles, greixoneres, olles, gerres, plats, tasses, tassons, brulloles, cossiols, xicres, alfàbies, etc. Si escrivim el perfil d’una peça com una funció en què l’eix de rotació prengui el paper de les abscisses, llavors el càlcul del volum que inclou la superfície d’aquest cos de revolució és una senzilla integral.

(Fotografia: CentMat, el ceramista Toni Vich al torn)

5. Transportadors d’angles

Els sumeris comptaven de 60 en 60. Tal vegada per això, a l’hora de dividir una volta completa en parts iguals, escolliren sis vegades seixanta. Com ho haguéssim fet nosaltres?

Els angles ens permeten, entre moltes altres coses, mesurar l’obertura de dues línies. Fa uns 5000 anys, els sumeris van dividir la circumferència en 360 parts iguals anomenades graus (derivat etimològicament de graó, passa). Cada grau fou dividit alhora en seixanta parts més menudes, que per aquest motiu anomenam minuts. Finalment, es va fer una segona divisió dels minuts en seixanta parts més petites que, per no confondre, no es varen anomenar minuts, sinó segons. Així, si s’haguessin dividit els segons en seixanta parts, segurament s’haurien anomenat tercers.

(Fotografia: Centre d’Aprenentatge Cientificomatemàtic CentMat)

6. El descobriment de pi

Què passa quan dividim la longitud d’una circumferència en trossos de la mateixa llargada que el seu diàmetre? Depèn, aquest resultat, de la grandària de la circumferència?

Sabem que els escribes sumeris, entorn de l’any 1900 aC, ja havien descobert que la longitud de qualsevol circumferència era, sempre, una mica més de tres diàmetres, concretament 3 + 1/7 (que ens dona un valor de 3,1428...). Dels papirs egipcis (especialment el papir Rhind, còpia d’un document del s. XIX aC) en podem deduir que aquests en postulaven un valor aproximat de 3,16. El símbol de la lletra p es va utilitzar per primera vegada a principis del s. XVII i fa referència a la inicial grega de perímetre o perifèria. p és un nombre irracional (té infinites xifres decimals no periòdiques) i és transcendent, és a dir, no és solució de cap equació polinòmica de coeficients racionals. L’any 2021, un grup de matemàtics suïssos en va calcular 62,8 bilions de xifres decimals.

(Imatge: a partir de L’escriba assegut (Wikimedia cc), Egipte, 2400 aC. Museu del Louvre)

7. L’harmonia de les esferes

Per què qualsevol persona, malgrat que no tengui cap tipus de formació musical, és capaç de distingir els sons que, executats simultàniament, són agradables a l’oïda i els que, junts, sonen «malament» (i que anomenam dissonàncies)?

S’atribueix a Pitàgores el descobriment que els intervals musicals naturals, els que són agradables a l’oïda, són aquells que provenen d’una relació numèrica senzilla entre les seves freqüències. Lògicament, Pitàgores no parlava de freqüències, sinó de longituds de cordes o de tubs (que tanmateix tenen una relació directa amb aquelles). Com que el moviment produeix so, per extensió, es va pensar que les trajectòries de les estrelles errants (ara en diem planetes) devien produir també la seva música (inaudible per a l’oïda però no per a l’ànima). Per tant, els radis de gir no podien ser qualsevols sinó que devien estar ben determinats. Aquesta idea passaria per Aristòtil i arribaria fins al s. XVII amb Johannes Kepler, qui escrigué Harmonices Mundi. D’aquesta història deriva el fet que quan algú aconsegueix entendre alguna cosa es digui que està escoltant la música de les esferes.

(Imatge: Tabula III, Orbium Planetarium, il·lustració de J. Kepler a Harmonices Mundi)

8. Els engranatges

T’has fixat en els plats i pinyons d’una bicicleta? Si hem de pujar una costa amb molt de rost, quina grandària de plat i de pinyó ens convé posar respectivament?

En parlar d’engranatges parlam de sistemes composts per dues o més rodes dentades, la funció de les quals és transmetre i o modificar la velocitat de gir entre les diferents rodes. En un engranatge simple, la relació entre el nombre de dents de la roda petita (anomenada pinyó) i el nombre de dents de la roda gran (anomenada plat) és inversa a la relació de velocitats angulars. És a dir, a doble nombre de dents, meitat velocitat. Els mecanismes més antics que es conserven foren trobats a la Xina i estan datats entorn del s. IV aC. A Europa, és famós el mecanisme d’Anticitera, del s. I aC, que seria un giny astronòmic extraordinàriament complex per calcular la posició del sol, la lluna i alguns planetes sobre la volta celeste i que, fins i tot, en opinió d’alguns experts, seria capaç de predir els eclipsis.

(Fotografia: CentMat, engranatges de rodament impossible en un comerç de Palma)

9. La paradoxa de les rodes d’Aristòtil

És fàcil pensar en quantitats finites i molt difícil copsar l’infinit. Sabem que el conjunt dels nombres naturals és infinit. Què passa amb la grandària d’aquest conjunt si li llevam els mil primers nombres?

Aquesta paradoxa, en clau de rodes, ja apareix en un antic text grec, la Mechanica, atribuït a Aristòtil. Imaginem dues circumferències concèntriques. És fàcil admetre que si feim girar una semirecta des del centre, aquesta mena de busca anirà emparellant cada un dels punts d’ambdues circumferències sense que en sobri ni en falti cap (és allò que en teoria de conjunts es diu correspondència bijectiva). Però llavors, com és que les dues circumferències tenen diferent longitud? Aquest problema ja va ser atacat per matemàtics de la talla de Cardano, Mersenne, Galileu, Bolzano... però fou Georg Cantor (1845-1918) qui demostrà que l’infinit de punts (cardinal) d’un segment, és sempre el mateix, independentment de la seva longitud.

(Idea i grafisme: Centre d’Aprenentatge Cientificomatemàtic CentMat)

10. Un teorema d’Euclides

És ben sabut que la suma dels angles interiors d’un triangle fa 180º. Pensant en aquesta propietat, sabríem deduir què sumen els angles interiors de qualsevol quadrilàter?

Els Elements d’Euclides són el paradigma de l’organització axiomàtica clàssica del coneixement geomètric. Concretament els llibres III i IV parlen de les propietats de la circumferència i el cercle. La proposició XXII del llibre III diu que «els angles oposats de qualsevol quadrilàter inscrit en un cercle sempre sumen dos rectes.» Els corol·laris d’aquest teorema són diversos. Per començar, l’angle que des d’un punt qualsevol d’una circumferència abraci un diàmetre serà sempre un angle recte. I també que l’angle que des d’un punt de la circumferència abraci una corda donada serà sempre el mateix, malgrat que aquest punt es vagi movent sobre la circumferència.

(Grafisme: Centre d’Aprenentatge Cientificomatemàtic CentMat)

11. Enrajolar amb cercles

Hi ha figures geomètriques amb les quals podem enrajolar una habitació i altres amb les quals no és possible. Has vist alguna habitació enrajolada amb hexàgons regulars? I amb octàgons regulars?

Tothom sap que no es pot enrajolar una habitació amb cercles perquè aquests no encaixen, és a dir, deixen espais buits. Però, quina seria la millor distribució de cercles de manera que aquests buits siguin el més petits possibles? Si distribuïm els centres dels cercles en una graella quadrada, la superfície recoberta seria del 78,8%, és a dir, quasi quatre cinquenes parts. Però si, en canvi, els distribuïm fent triangles equilàters (en una graella isomètrica, com a la fotografia), llavors la superfície recoberta augmentaria fins poc més del 90 %.

(Grafisme: Centre d’Aprenentatge Cientificomatemàtic CentMat)

12. L’espiral arquimediana

Caragols, galàxies, borrasques i anticiclons, ensaïmades, espiritrompes, falgueres, nervis auditius... per què al món natural i també al civilitzat és tan abundant l’espiral?

Una corda enrodillada sobre la superfície plana d’un vaixell presenta una corba espiral que té la característica que cada volta s’allunya la mateixa distància del centre (cosa que no passa, per exemple, amb les closques dels caragols). Aquest tipus de corba fou estudiat en profunditat per Arquimedes de Siracusa en el seu llibre (perdut) Sobre les espirals i rep, per això, el nom d’espiral arquimediana. Pel fet d’augmentar la distància al centre de manera constant, aquesta corba mai no traça realment una circumferència però, a mesura que torna gran, la seva curvatura és cada vegada més propera a la d’una circumferència. Un vertader amor impossible. Altres exemples d’espiral arquimediana són els centpeus quan es veuen amenaçats, la traça de fibra d’un esportí, etc.

(Idea i muntatge: CentMat)

13. Els cercles d’Apol·loni

T’has fixat en els dibuixos geomètrics de les vidrieres i rosasses gòtiques? En aquest art, el de la traceria, són prou abundants els motius amb cercles tangents?

Apol·loni de Perge (s. III aC) fou un geòmetra i astrònom grec a qui devem l’estudi en profunditat del cercle, l’el·lipse, la paràbola i la hipèrbola (corbes totes elles anomenades còniques perquè es poden obtenir seccionant en la direcció adequada un con). Apol·loni descobrí que si dibuixam tres circumferències de qualsevol grandària (circumferències blaves), tangents dos a dos, sempre podrem dibuixar dues circumferències més (circumferències vermelles), tangents a les tres inicials.

(Grafisme: GeoGebra Clàssic)

14. La tomba d’Arquimedes

Quan algú exclama eureka! fa servir una expressió grega que significa «ho he trobat». Imaginem que posam una esfera dins el cilindre més petit possible, tant d’ample com d’alt. Quina porció de l’espai del cilindre queda lliure?

Arquimedes de Siracusa és considerat un dels savis més grans de la humanitat. Segons una llegenda, les seves últimes paraules abans de morir a mans d’un soldat romà -mentre dibuixava sobre l’arena- haurien sigut Noli turbare circulos meos (no molestis els meus cercles). El que sí sembla certa és la petició que representassin a la seva tomba un dels descobriments del qual estava més orgullós: que el volum i l’àrea d’una esfera inscrita en un cilindre són exactament 2/3 dels d’aquest. La tomba, actualment desapareguda, caigué ben aviat en l’oblit fins que el mateix Ciceró la retrobà, efectivament, amb la representació d’aquella equivalència geomètrica sobre una columna, al costat de la porta d’Agrigent.

(Impressió 3D: Jordi Bardají Cusó)

15. Cercles i espiritualitat

Per què des de ben antic, s’ha associat la idea de la perfecció amb la figura geomètrica del cercle? Per què no un quadrat, o una altra figura?

No hi ha, en la circumferència, cap punt distingible d’un altre, tot és fix, igual, segur, estable. En ell res no comença ni acaba, com una metàfora de l’eternitat i, per això, la figura ha representat en l’Hinduisme i el Budisme el cicle de les reencarnacions. El paradís del Cristianisme, el món perfecte, té forma circular. I en la tradició islàmica, el cercle és també la figura perfecta. La idea d’aquesta perfecció divina ha condicionat fins i tot la recerca cosmològica que, fins a Johannes Kepler (1571-1630), no concebia una trajectòria planetària que no fos circular. Nogensmenys, els mandales hindús, circulars, són una representació de l’univers.

(Fotografia: CentMat, Lledània de la Seu de Mallorca, roda de flors de cera per a la processó del Corpus)

16. Corones tangents

Quantes bolles, com a màxim, poden enrevoltar una altra bolla del mateix diàmetre sobre un pla?

Una de les propietats geomètriques més conegudes del compàs diu que una circumferència es pot envoltar de 6 circumferències iguals, tangents entre si. Si tornam a fer una corona més gran sobre aquesta, les noves circumferències hauran multiplicat per 3 el seu radi, respecte de l’anterior i així successivament. És a dir, que els radis de les circumferències consecutives, a mesura que ens allunyam del centre es troben en progressió geomètrica de raó 3. Això és bo d’entendre si pensam que, cada vegada que construïm una nova corona, els diàmetres més petits de totes les que queden dintre formen, en realitat, una gran circumferència igual que la que acabam de fer.

(Grafisme: CentMat)

17. La quadratura del cercle

Imaginem-nos que tenim una circumferència perfecta feta de filferro. Què passaria si amb la mateixa longitud de línia formàssim un quadrat? Tendrien la mateixa àrea?

La quadratura del cercle és un dels tres problemes irresolubles de la Grècia clàssica. Consisteix a provar de dibuixar un quadrat que tengui exactament la mateixa àrea que un cercle donat, fent servir només regle i compàs (els estris de la geometria euclidiana) i amb un nombre finit de passes. El problema ja fou provat de resoldre pels escribes babilonis, per Arquimedes, per Ramon Llull i per la majoria de matemàtics i matemàtiques importants, fins que més de 2000 anys després, Ferdinand von Lindemann, el 1882, demostrà que era impossible. (La impossibilitat d’aquesta construcció radica en el fet que el nombre p és un nombre irracional transcendent, no algebraic.)

(Fotografia: CentMat, al·legoria de la Geometria al sepulcre de Ramon Llull, Sant Francesc, Palma)

18. El model cosmològic geocèntric

No és ben lògic pensar que són el Sol, la Lluna i els astres els que es mouen al nostre voltant? No és el que veiem a simple vista sobre la volta del cel?

Tot i que ja hi havia pensadors a la Grècia clàssica com Aristarc de Samos (s. III aC) que defensaven que el sol era el centre del nostre sistema, es va anar imposant la idea que la Terra romania immòbil al centre de l’univers i que els astres giraven entorn d’ella. Com que la circumferència tenia l’atribut de línia perfecta i les trajectòries aparents dels astres així pareixien confirmar-ho, el model cosmològic formulat per Plató i Aristòtil entre d’altres, establia unes capes esfèriques on s’anaven situant els diferents astres. De més a prop cap a fora, les successives esferes de gir sobre la Terra corresponien a la Lluna, Mercuri, Venus, el Sol, Mart, Júpiter, Saturn i les estrelles fixes, però les anomalies observades en la direcció i velocitat de rotació d’alguns planetes (especialment Mart), obligaren a reformular aquest model. Per aquest motiu, Claudi Ptolemeu (s. II dC), formulà la teoria dels epicicles, unes trajectòries circulars més petites que feien alguns planetes mentre giraven entorn de la Terra sobre una circumferència més gran.

(Reproducció: Antònia Martorell Mir, Societat Balear de Matemàtiques SBM-XEIX)

19. La taula rodona de Camelot

De quantes maneres poden seure dues persones (posicions relatives d’una respecte de l’altra) en una taula rodona? I tres persones? I quatre?

Una de les propietats més definitòries de la circumferència és l’equivalència de tots els seus punts. En una circumferència perfecta, cada punt té exactament la mateixa «visió» de tots els altres. Aquesta idea és la que governa la taula rodona de Camelot a la llegenda artúrica: el fet que tots els cavallers que la formen són iguals en rang (sempre que la cadira del rei no sigui diferent!). Els membres més famosos de la taula rodona són el rei Artús, Sir Galahad, Sir Lancelot, Sir Perceval, etc. Tot i que no hi ha un nombre fix de membres, si la taula hagués tengut 21 membres, les possibles permutacions de seients ultrapassarien els segons que té la història de l’univers.

(Clicks de Playmobil)

20. L’Ars Magna de Ramon Llull

Si tenim dues rodes concèntriques amb 9 elements cada una, de quantes mareres podem emparellar aquests elements si n’anam rodant una? I si augmentam el sistema a tres rodes, també de 9 elements? Quants terns diferents podríem generar?

Des del moment de la seva «il·luminació», Ramon Llull decidí dedicar la vida a estudiar, investigar, i escriure el millor llibre contra els errors dels infidels. En una primera fase, adquirí un esclau per aprendre àrab, el qual li hauria ensenyat la lògica d’Al-Gatzell. Aquesta podria ser el bessó de les seves rodes combinatòries. Aquests ginys, consistents en rodes concèntriques mòbils, suposen un esforç previ d’identificació de principis, accions i atributs fonamentals. L’Ars Magna és, probablement el primer intent seriós de mecanització del pensament que assenyala Llull com un dels precursors de la informàtica. Nogensmenys, el mateix Gottfried W. Leibniz s’inspirà en l’obra del beat Ramon a l’hora de construir la seva calculadora.

(Imatge: figura 1 de l’Ars Magna de Ramon Llull)

21. El castell de Bellver

Si pensam en castells que hàgim pogut visitar, sense comptar el de Bellver, quines són les formes geomètriques que ens venen al cap? N’hem vist algun altre de rodó?

L’any 1300 es començà a construir la fortalesa de Bellver per ordre de Jaume II amb l’objectiu que fos també residència reial. El buc principal fou realitzat en un període extremadament curt de nou anys. El castell de Bellver és un dels poquíssims exemples de castell de planta circular que existeixen en el món. No tenim documents que avalin la intenció d’aquesta geometria, però el fet és que la circumferència és la figura geomètrica que fa màxima la superfície interior per a un perímetre fixat. És a dir, que amb el mateix esforç de paret, el pati d’armes és més gran que si el castell hagués estat rectangular, o estrellat, o de qualsevol altra forma, mentre conservàs el mateix perímetre. Aquest fet ja era conegut per la matemàtica grega del temps d’Euclides. Així mateix, la fotografia presa sobre un pla esbiaixat respecte del pla del castell ens mostra que aquesta projecció de la circumferència és una el·lipse.

(Fotografia: Juan Antonio Díaz Peñarrubia)

22. L’Oculus Maior de la Seu

La gran rosassa de la Seu, la de llevant, sobre l’altar major, és coneguda també amb el nom d’Oculus maior. Sabries dir per què?

Una de les característiques més importants del gòtic és el tractament de la llum que fa a través de les seves rosasses i finestres vidriades. L’art de dissenyar-les i construir-les s’anomena traceria. En la traceria, el disseny de les línies (motllures i nervadures) que, en principi, han de suportar els vidres es fa quasi sempre a partir d’arcs de circumferència. L’atreviment artístic d’aquest moviment medieval ens ha llegat peces de la categoria de la rosassa sobre el portal de Saint-Étienne a Notre-Dame de París, de 13,1 m de diàmetre interior, o de la rosassa major de la Seu de Mallorca, amb 11,4 m de diàmetre, 1116 vidres i una superfície total de 102 m2.

(Fotografia: CentMat, Oculus Maior de la Seu)

23. Les coordenades geogràfiques

Si tots els meridians són, pràcticament, semicircumferències de la mateixa longitud, per què el meridià de Greenwich és el meridià de referència? Què té aquest meridià d’especial?

Des de ben petits, quan estudiam les coordenades geogràfiques, aprenem que, sobre un model esfèric, els meridians són aquelles semicircumferències que uneixen els pols i que, per tant, tenen tots la mateixa llargada. En canvi els paral·lels, són les circumferències que apareixerien en tallar l’esfera del món en talls paral·lels entre si, tots ells perpendiculars a l’eix de rotació terrestre i, per tant, són més petits com més a prop dels pols són. Cinc d’ells presenten noms especials: els cercles polars (àrtic i antàrtic) que delimiten -fins als pols- les dues zones de la Terra en què, almenys un dia a l’any, el sol es troba 24 hores sobre l’horitzó; els tròpics (de Càncer i de Capricorn), que delimiten -entre si- aquella zona de la Terra en què, almenys un dia a l’any, el sol ocupa una posició perfectament zenital, és a dir, perpendicular a la superfície de la Terra, i l’equador, que és el paral·lel que equidista dels pols i, per tant, és el més llarg.

(Fotografia: CentMat, Detall de l’escala de Can Espanya Serra al carrer Portella de Palma)

24. La conjectura de Kepler

Ens hem fixat alguna vegada en quina és la distribució de la fruita en el mostrador quan aquesta és prou esfèrica com, per exemple, les taronges?

En torn de l’any 1606, Johannes Kepler va formular la conjectura que la millor forma d’apilar esferes perquè ocupin el menor espai possible és distribuir-les en un pla de manera que vagin formant triangles equilàters i, a continuació, anar superposant plans de manera que les esferes del pla superior encaixin amb els buits del pla inferior. Gauss demostrà el 1831 que aquest era el millor sistema sempre que parlàssim d’empaquetaments regulars però no va poder resoldre el cas general. El 1998 Thomas Hales demostrà el cas general, però com que la seva demostració requereix de 3 Gb de programes informàtics, una petita part de la comunitat matemàtica encara no vol donar la demostració com a definitiva. Precisament, la medalla Fields (el Nobel de les matemàtiques) de 2022 fou atorgada a Maryna Viazovska (matemàtica ucraïnesa nascuda el 1984 a Kíev) pels seus treballs sobre l’empaquetament d’esferes en espais de dimensions 8 i 24.

(Bolles de porexpan)

25. El teorema de Tales i els cons

Què passa si deixam rodar lliurement un con sobre una superfície plana? On queda situat el centre de gir d’aquesta figura geomètrica?

En el trull de les tafones antigues, l’oliva era esclafada pel rutló, una gran pedra de forma troncocònica que rodava i voltava sobre el pla d’una altra pedra (la sumola) gràcies a l’energia d’un animal. Abans de la mecanització del s. XX, en general, l’eix de rotació dels rutlons no passava pel centre de la sumola (apuntava més amunt) mentre que, després, l’eix de rotació ja passa per aquest centre. Si tenim present el teorema de Tales, això vol dir que en les tafones antigues, el rutló no rodava de manera uniforme sobre la sumola i, per tant, en realitat, es produïa un efecte de fregament. En canvi en les tafones modernes el rodament és uniforme.

(Fotografies: CentMat, trulls de les tafones de Son Alegre (Marratxí) i de Galatzó (Calvià))

26. L’equació cartesiana

Quants punts té una línia? Infinits? Llavors, com podem (d)escriure tots els punts d’una circumferència?

Des que Descartes relacionà la geometria amb l’àlgebra gràcies als eixos de coordenades, la màgia de la geometria analítica permet encabir els infinits punts d’una corba, superfície, figura... en una equació. Així, anomenam circumferència al lloc geomètric dels punts del pla, P(x,y), que equidisten d’un punt fix anomenat centre, C(a,b). Aquesta distància rep el nom de radi (r). Per tant, en virtut del teorema de Pitàgores, això vol dir que qualsevol punt P(x,y) de la circumferència complirà que (x-a)2 + (y-b)2 = r2. Aquesta equació és coneguda com a equació reduïda de la circumferència.

(Grafisme: GeoGebra Clàssic)

27. Expressions populars

Què significa quan algú diu d’un altre que sempre fa voltes allà mateix? Es pot arribar gaire lluny fent voltes sempre allà mateix?

Segons el paradigma actual del coneixement, no podem separar les matemàtiques del llenguatge. En un àmbit molt més quotidià, les expressions matemàtiques i, en concret, les que fan referència als cercles són prou presents. Així, diem que algú intenta quadrar el cercle quan encalça alguna quimera impossible, o que alguna cosa ha entrat en un cercle viciós (i també que és un peix que es menja la cua) per dir que es repeteix sense escapatòria, de manera contínua. La bellesa del cercle queda patent en l’expressió que alguna cosa ha quedat rodona. Així mateix, en l’àmbit associatiu, són comuns els cercles artístics.

(Muntatge fotogràfic: CentMat)

28. La mesura del món

Si anam des del Pol Nord fins a l’Equador per la línia més curta (un quart de meridià) haurem de recórrer 10.000 km. No és molta casualitat aquest nombre tan rodó?

En l’era Moderna, Issaac Newton fou el primer a postular que la Terra no podia ser perfectament esfèrica i que devia estar esclafada pels pols, com una mandarina, en contra del que postulaven els Cassini i altres savis francesos que l’esclafament havia de ser equatorial, com una llimona. Les expedicions de la primera meitat del s. XVIII a Lapònia i a Perú donaren la raó a l’anglès. La mesura del meridià de París (1792-1799) per Delambre i Méchain per definir el metre patró com la deumilionèsima part del quadrant del meridià terrestre, acabà de confirmar el que ja sabien. Actualment es considera que el radi polar de la Terra és de 6357 km mentre que el radi equatorial seria de 6378 km, cosa que mostra una diferència de 21 km, o sigui, de poc més d’un 0,3 % sobre el radi mitjà. Una diferència realment petita.

(Fotografia: CentMat)

29. L’aritmètica del rellotge

Quin residu obtenim si dividim 15 entre 12? I si dividim 20 entre 12? Què tenen a veure aquests residus amb les hores del dia?

Carl F. Gauss definí, el 1801, a les Disquisitiones Arithmeticae, el concepte d’aritmètica modular. Es tracta de classificar els nombres enters en classes d’equivalència segons el residu de la seva divisió entre un nombre de referència anomenat mòdul. Cada classe d’equivalència està formada per aquells nombres que tenen el mateix residu en fer la divisió pel mòdul donat. Així, si parlam de mòdul tres, tendrem les classes d’equivalència que corresponen als tres residus possibles. Una classe, serà 0 mod(3) i estarà formada per 3, 6, 9, 12.... Una altra classe serà 1 mod(3) i estarà formada per 1, 4, 7, 10... i la darrera serà 2 mod(3) que la formaran 2, 5, 8, 11.... Qualsevol hora del dia en un rellotge, és en realitat l’hora marcada mod(12). D’aquí el sobrenom d’aritmètica del rellotge. Les lletres del nostre DNI són, en realitat, les classes d’equivalència del nostre nombre mòdul 23.

(Rellotge analògic amb xifres hindoaràbigues)

30. Els anells de Borromeu

És possible enllaçar tres anells de manera que no es puguin separar però que, en el cas de trencar-ne un qualsevol, tots tres quedin separats?

Els anells de Borromeu fan referència a l’escut heràldic de la família milanesa Borromeo que té, entre d’altres atributs, tres anells en una posició molt concreta. Les primeres notícies d’aquesta família es remunten a finals del s. XIII mentre que el primer article que mira aquest objecte des d’un punt de vista matemàtic és de 1876 i es deu al físic matemàtic Peter Guthrie Tait (1831-1901). El 1987 Freedman i Skora demostraren rigorosament que aquesta disposició d’anells no es pot aconseguir amb circumferències planes. Però al contrari que en els anells de Salomó, la imatge especular dels anells de Borromeu és topològicament isotòpica. És a dir, movent convenientment els anells sense tallar-los, es pot convertir una disposició donada en la seva imatge (sempre que els tres anells siguin indistingibles).

(Grafisme: CentMat)

31. Registres per transitar

Ens hem fixat en les tapes metàl·liques de registre que, al terra dels carrers, donen accés a les línies telefòniques, conduccions d’aigua, etc.? Quines formes geomètriques solen presentar?

És habitual que les tapes de registre que donen accés a galeries subterrànies transitables per persones, com les del clavegueram o les de les línies telefòniques, tenguin forma circular. Moltes vegades, aquestes tapes són al mig del carrer i, per aguantar el pes dels vehicles, han de ser molt reforçades i feixugues. La geometria de la forma circular ens assegura que, una vegada oberta i amb persones al fons, no hi ha perill que la tapa pugui caure dintre. Si la tapa és quadrada, és obligatori dotar-la de frontisses que evitin aquesta possibilitat.

(Fotografia: CentMat)

32. El teorema de Hopf-Poincaré

Quan passejam per una platja, sovint trobam unes bolles lleugeres de color marró. Sabries dir de quina planta marina són les fibres?

Anomenat també el teorema de la bolla peluda, el teorema de Hopf-Poincaré afirma que és impossible pentinar de forma homogènia i contínua la cabellera que cobreix per complet una esfera sense deixar-hi qualque punt amb un reganyol o coronell. Per exemple, si provàvem de pentinar la cabellera en la direcció dels meridians, sempre tendríem un punt d’on sortirien els cabells (que correspondria en l’exemple al pol nord) i un punt on arribarien tots (que faria el paper de pol sud). Una altra conseqüència d’aquest teorema és la impossibilitat que faci vent en tots i cada un dels punts del món alhora. El teorema de Hopf-Poincaré és estudiat dins la branca de la topologia diferencial.

(Fotografia: CentMat, bolles de Posidonia oceanica)

33. Vassili Kandinski

L’art abstracte afavoreix el procés de la imaginació. Què hi veus en aquest famós quadre?

Nascut a Moscou (1866-1944), Kandinski és un dels més clars exponents de la pintura abstracta desenvolupada a Europa durant les primeres dècades del segle XX. Segons ell, un cercle és la síntesi de les majors oposicions. Combina el concèntric i l’excèntric en una única forma i en equilibri. De les tres formes primàries, és la que apunta més clarament a la quarta dimensió. Els colors han d’abandonar les figures on es troben subjectes per expressar lliurement idees i emocions. Una de les seves obres més conegudes i treballades a l’escola és l’aquarel·la sobre paper «Estudi de color: quadrats amb cercles concèntrics.»

(Imatge: Color Study, Squares with Concentric Circles, 1913, Vassili Kandinski, Wikimedia commons)

34. El teorema de Johnson

Quantes figures diferents podries fer amb tres circumferències iguals? De quantes propietats geomètriques podríem parlar?

Quan tres circumferències del mateix radi comparteixen un punt (vermell), els altres tres punts que comparteixen dues a dues (verds) formen part d’una quarta circumferència que presenta, també, el mateix radi. Aquest teorema, digne de la geometria d’Euclides, fou descobert i demostrat per Roger Arthur Johnson (Massachusetts 1889-1954) el 1916 i se sol esgrimir com a prova que segurament encara queden moltes propietats elementals de geometria per descobrir.

(Idea i muntatge: CentMat, discos de vinil)

35. Dendrocronologia

Per què el creixement anual d’un arbre queda marcat en forma de línies visibles més o manco circulars quan en seccionam el tronc? Quin és el factor que provoca aquestes marques de creixement cícliques?

La dendrocronologia s’encarrega d’estudiar i datar els anells de creixements dels arbres. La tipologia d’aquests anells depèn, lògicament, de cada espècie, però el seu estudi ens aporta moltíssima informació. A part de l’edat d’un arbre, a partir de la forma i la gruixa dels seus anells podem saber com estava orientat, quina climatologia va correspondre als anells observats, períodes de sequera, etc. Teofrast (322 aC) fou el primer en parlar-ne. Leonardo da Vinci, el primer a relacionar la climatologia amb la seva gruixa. Però fou un astrònom, Andrew E. Douglass, qui va impulsar la dendrocronologia com a ciència amb la intenció de relacionar els anells, la climatologia i les taques solars.

(Tall d’una soca de pi. Agraïm la col·laboració de la serradora de Can Just, Inca)

36. Galatea de les esferes

És aquest un famós quadre del pintor de Cadaqués, Salvador Dalí, en què expressa la seva admiració i entusiasme per la ciència contemporània i, en concret, per la biologia molecular. Com aconsegueix fer-nos veure una cara gairebé completa a partir de bolles separades?

Ja des de la Grècia Clàssica, els filòsofs pensaven la natura composta per partícules indivisibles (àtoms) que imaginaven com una mena de petites esferes. John Dalton (final s. XVIII) encara ho feia així. A partir de Joseph J. Thomson i Ernest Rutherford (s. XIX-XX) cada àtom es descompon en multitud d’esferes més petites que són els protons, neutrons i electrons. Però amb l’arribada de la mecànica quàntica, aquests models simples desapareixen del panorama científic modern per endinsar-se en un espai de funcions probabilístiques.

(Imatge: Galatea de las esferas, 1952, oli sobre tela, 65 x 54 cm, Salvador Dalí)

37. Joguines rodones

Quins jocs et venen al cap si penses en la figura de la circumferència? I en les esferes?

La circumferència forma part d’alguns jocs tradicionals que foren molt populars durant segles. És el cas del joc de les anelles en el qual a partir d’una estaca clavada al terra, els jugadors miraven d’enfilar-hi una anella o ferradura. L’altre joc que fou molt popular fins a mitjan s. XX fou el del cèrcol. Aquest consistia a fer córrer un cèrcol de ferro, prou gran, mantenint-lo en equilibri amb l’ajut d’una vareta normalment també metàl·lica. A Catalunya és conegut amb el nom de la rutlla. A Menorca, la dita pitjar el cèrcol significa, segons el diccionari d’Alcover-Moll, ser molt exigent, obrar amb energia. Així mateix, els jocs en què els participants han de formar una circumferència són més que abundants. L’altra joguina de tradició mil·lenària, reinventada a principis de la segona meitat del s. XX, va ser el hola hoop.

(Fotografia: CentMat, el nen de la rutlla, obra de l’artista noucentista Joaquim Ros i Bofarull)

38. Puntillisme

Què passa amb el detall d’una pinzellada quan miram un quadre, des d’una certa distància?

El puntillisme és una tècnica pictòrica que consisteix en la creació d’imatges que són captades com una sola a partir de punts diminuts. A una distancia determinada aquestes unitats diminutes, normalment de colors purs, es mesclen òpticament i el resultat produeix una gamma de colors tan gran com qualsevol barreja de pigments. De la mateixa manera que existeixen relacions matemàtiques entre els diversos tons musicals, hi ha relacions físiques entre els colors. El principal impulsor i representant del puntillisme pictòric fou el parisenc Georges Seurat (1859-1891). Una de les icones del puntillisme del s. XX és el còmic de la noia rossa de Roy Lichtenstein. Actualment aquesta és la tècnica que, en realitat, s’empra en els tatuatges i en qualsevol imatge tractada digitalment a través dels píxels.

(Imatge: Infermera, 1964, oli sobre tela, 121.9 x 121.9 cm, Roy Lichtenstein. Col. privada)

39. La circularitat

En molts d’envasos trobam aquest símbol com a senyal que es poden reciclar. Per què deu tenir aquesta forma gairebé circular?

El britànic James E. Lovelock formulà el 1969 la famosa hipòtesis Gaia segons la qual el conjunt de la Terra, però especialment l’atmosfera, la biosfera i les capes geològiques de la superfície... es comporten com un vertader supraorganisme capaç d’autoregular-se. En un sistema gairebé tancat pel que fa als materials, la circularitat és essencial. És a dir, els processos que regulen els canvis (fases de l’aigua, creació i desaparició d’organismes, modificació del relleu...) produeixen -a nivell local- uns residus que són la matèria primera per a altres cicles. Però si tenim en compte el sistema total, l’organisme Gaia, en realitat no hi ha residus, només una transformació contínua en equilibri on res no es guanya ni es perd. Tot està interconnectat.

(Muntatge fotogràfic: CentMat)

40. Il·lusions òptiques circulars

Fa més de 2000 anys, els primers filòsofs grecs de la història ja es feien aquesta pregunta: ens podem fiar dels nostres sentits?

Per què aquests dibuixos fan la sensació d’estar en moviment? Per què hi ha corones circulars que fan la sensació de girar cap a l’esquerra i altres cap a la dreta? Fixa’t en l’alternança dels colors (lila, negre, verd). Una possible explicació d’aquest tipus d’il·lusió òptica és el que s’anomena retard neuronal. Aquest fet es basa en el temps que passa des que un raig de llum arriba a la retina i aquest estímul és processat pel cervell, i que és aproximadament d’una dècima de segon. Segons Mark Ghangizi (NY), això produeix una mena de percepció futura en la qual els humans, que sabem d’aquest retard, per poder actuar en temps real, en realitat estam creant constantment imatges avançades del que suposam que està passant.

(Imatge: Cmlgee, idea de Trent Steel, Wikimedia commons)

41. Cercles i fractals

Eugène Delacroix, pintor romàntic francès, deia als seus alumnes que s’havien de fixar que un arbre estava format, en realitat, per arbres més petits. Què significa això?

Les fractals són objectes matemàtics, especialment importants en el món de la geometria i de les funcions, que presenten unes propietats molt curioses i interessants. Per simplificar, podríem dir que una fractal es genera a partir d’una idea senzilla encaixada dins ella mateixa de manera infinita. Per exemple, dins un cercle, col·locam 7 cercles iguals i tangents i buidam el del mig. Amb els 6 que queden, tornam a fer el mateix. Amb els 36 que queden, tornam a buidar... Les geometries així obtingudes solen presentar la propietat de l’autosemblança, és a dir, que un bocí petit pot ser igual o molt paregut a un bocí molt més gran. I poden créixer o decréixer infinitament. Benoît Mandelbrot (Varsòvia 1924-2010) formulà el concepte de fractal a partir d’estudis sobre economia i descobrí que la natura utilitza amb freqüència la tècnica fractal. És el cas de moltes estructures botàniques, creixements minerals, línies de costa, etc.

(Imatge: fractal de Mandelberot)

42. Yayoi Kusama

Quan dibuixam un punt, feim en realitat una taca més o menys circular, és a dir, agrupam un conjunt infinit de punts. Per què, si un punt no té superfície, es pot veure?

Nascuda a Matsumoto (Japó 1929), aquesta artista va començar a pintar des de ben petita per alliberar-se de les seves al·lucinacions: els punts venen, volen i cauen en el meu vestit, enterra, per la casa, pel sòtil... i jo els pint. Aquesta és la idea de les seves fonts. Encara que no està lligada a cap moviment en concret, en la seva obra es reconeix l’art Pop, l’art Minimalista i l’art Feminista. Treballa la pintura, l’escultura, les performances i les instal·lacions. Els temes de les seves obres també són recurrents: carabasses, que representen la part positiva dels seus problemes, l’estabilitat i les comoditats. Les flors representen la vida i la mort, la masculinitat i la feminitat, la festa i el dol. Els punts són sòlids i infinits. Són una forma de vida. Sol, lluna , estrelles. Són cents de milions de punts. Els punts no poden existir per si mateixos, només poden existir si es reuneixen amb altres i formen part de l’eternitat.

(Imatge: Dots Obsession, 1996/2015, tècnica mixta. © YAYOI KUSAMA)

43. Urbanisme circular

Quan miram el traçat dels carrers d’una ciutat, aquest ens dona pistes de la seva història. Els romans, per exemple, quadriculaven el terreny on havien de començar a construir-les. Però gairebé mai trobam ciutats o illetes de cases de forma circular. Per què?

Gairebé totes les civilitzacions han quedat fascinades per la màgia del cercle. Podem trobar estructures circulars des dels monuments megalítics com Stonehenge als poblats africans, des dels pobles indígenes nord-americans a les runes perses i musulmanes, etc. Protegir una ciutat mitjançant una murada circular suposa una economia de recursos, la línia perimetral no té punts foscos de visió i la forma radial dels carrers és la manera més fàcil i ràpida de comunicar-se amb el centre. Però no tot són avantatges, el cercle requereix que la geografia del lloc sigui plana i presenta certes dificultats a l’hora de fer créixer barris propers. Així i tot, urbanistes de diversos llocs del món continuen explorant les propietats habitables d’aquesta geometria.

(Fotografia: Google Maps. Urbanització de Brondby Haveby, Dinamarca.)

44. Jan Kalab

El cercle és una figura geomètrica de concepció senzilla però, és igualment senzill perfilar les voreres d’un cercle pintant-les amb pintura acrílica? I tallar, de manera ben precisa, una fusta de forma circular?

Nascut a Txèquia (1978), va estudiar a l’Acadèmia de Belles Arts de Praga. L’any 2000 va impressionar el públic de Nova York pintant cotxes sencers i, com a artista lligat a l’art urbà des dels seus inicis, la seva investigació el dugué a desenvolupar el concepte de graffiti en 3D. Amb el temps, les seves formes es van fer cada cop més geomètriques. Va utilitzar quadrats i cercles de colors com a vocabulari obsessiu per a infinites variacions al voltant de la profunditat, el temps i el moviment. Jugar amb cercles transmetia imperfecció orgànica i s’involucrava en el seu treball. El cercle representa, en la seva obra, dos oposats: esfera i forat.

(Imatge: Blue sun 0817, 2017, acrílic sobre vuit teles, 1.35 x 2.10 m. © JAN KALAB)

45. Bombolles de sabó

Quantes vegades no hem vist infants jugant a fer bombolles de sabó? Potser nosaltres mateixos ens hi entretenim encara. Quines matemàtiques s’amaguen rere aquestes efímeres esferes?

Una bombolla de sabó és una pel·lícula formada per una o diverses substàncies amb la propietat que les seves molècules exerceixen entre sí una forta atracció que anomenam tensió superficial. Quan aquesta superfície és tancada i conté una certa quantitat d’aire, la tensió superficial tendeix a reduir la superfície al mínim. Descobrim així que, per un volum donat, la figura geomètrica que minimitza la superfície és l’esfera. Per això mateix, les gotes de pluja sense vent són esfèriques. I per això mateix, quan tenim fred, ens enroscam com si volguéssim tornar esferes, per disminuir la superfície de pell, que és per on perdem el calor corporal. A la Seu de Mallorca, una tomba amb un infant fent bombolles de sabó ens envia el missatge que la vida és efímera.

(Fotografia: CentMat, tomba central davant el presbiteri de la Seu de Mallorca)

Respondre a aquest article