Circumferències i cercles

D’entre les primeres circumferències o cercles que les persones del món prehistòric observaven en el món natural, d’entre aquelles que ens ajudaren a adquirir la noció primigènia, ben segur que hi havia el disc solar, la lluna plena, les ninetes dels ulls de la gent propera...

Per la senzillesa de la seva construcció, la circumferència és la línia corba amb més presència del món civilitzat. Amb una estaca o punxó (centre) i un cordill (radi) es degueren construir a la prehistòria gairebé totes.

(Aixovar talaiòtic de la cometa dels Morts al Museu de Lluc, Mallorca)

El III llibre dels Elements d’Euclides (s. IV aC.) està dedicat íntegrament a les propietats de la circumferència i el cercle, així com de les seves tangents, cordes, arcs, i angles centrats i inscrits.

Algunes propietats

Parlarem aquí només d’algunes propietats significatives de l’immens ventall que presenten.

1. Per definició, els punts d’una circumferència estan tots a la mateixa distància (equidisten) d’un altre punt fix anomenat centre. Aquesta distància s’anomena radi.

2. Si dividim la longitud d’una circumferència entre el seu diàmetre, el resultat és una constant universal anomenada pi () de valor 3,14159...

3. A partir de la propietat anterior, la longitud (L) d’una circumferència es pot calcular mitjançant la fórmula L = 2..r

4. Si ara descomposam el cercle en infinits sectors circulars, la figura que aquí presenta només 8 sectors seria en realitat un rectangle que tendria una alçada igual que el radi i una base igual que la meitat de la longitud de la circumferència.

Per tant, l’àrea del cercle transformat ara en un rectangle serà:

5. Qualsevol recta tangent a una circumferència (que la toca en un sol punt) és perpendicular al radi que conté el punt de tangència.

6. Qualsevol triangle format pels extrems d’un diàmetre i un altre punt de la circumferència, és rectangle. (Aquesta propietat és fàcil de visualitzar si pensam que aquests triangles són en realitat la meitat d’un rectangle amb les diagonals sobre sengles diàmetres.)

7. Els angles inscrits en una circumferència que abracen la mateixa corda (en el cas de la il·lustració la corda AB) són iguals. És el cas general de la propietat anterior.

8. L’àrea del cercle circumscrit a un quadrat és el doble de l’àrea del cercle inscrit en aquest mateix quadrat. (Això és bo de veure si pensam que la relació de radis és l’arrel quadrada de dos.)

9. La mediatriu d’una corda passa sempre pel centre de la circumferència.

10. Per tres punts no alineats, hi passa sempre una sola circumferència. Basta traçar les dues mediatrius de dues de les cordes possibles per trobar el centre d’aquesta circumferència.

11. La projecció d’una circumferència sobre un pla que no sigui paral·lel a ella, és una el·lipse. (En realitat, podem considerar la circumferència com un cas especial d’el·lipse en la que la distància entre els seus focus és zero.)

En la imatge anterior, podem veure com el forat circular del contenidor que tenim a la vista, projectat sobre el pla de la foto, s’ha convertit en una el·lipse. Així mateix veim com la projecció solar del forat circular del darrere del contenidor sobre les seves parets és, també, una el·lipse.

12. El cercle no es pot quadrar amb regle i compàs. El 1880, Ferdinand von Lindemann demostrà que no es podia construir un quadrat que tengués exactament la mateixa àrea que un cercle donat, segons la regla grega del regle i compàs. Es tancava així un problema de més de 2000 anys d’antiguitat, el de la quadratura del cercle.

(Representació de la geometria al sepulcre de Ramon Llull amb la Figura Plena que presentaria la quadratura i la triangulatura del cercle.)

Preguntes que ens podem fer

 Quin avantatge té un registre circular?

Els registres del carrer que són circulars tenen l’avantatge que mai no poden caure cap a dins, perquè el diàmetre del forat és constant i una mica menor que el diàmetre major de la tapa. Si fos quadrat, la tapa podria passar per la diagonal. Això fa que en el cas de registres que han de permetre el pas de persones, com els de telefonia, ens asseguram que mai la tapa pot caure dintre sobre algú.

 Per què el castell de Bellver té planta circular?

No tenim documents que aportin aquest perquè, però el fet que sigui de planta circular té dos avantatges indiscutibles. En primer lloc, el castell no presenta punts febles en la seva defensa, sinó que té una visibilitat igual de bona des de tots els punts.

I en segon lloc, la circumferència és la línia més curta que conté una superfície determinada. És a dir, que una vegada decidida la superfície del pati d’armes, el seu perímetre és menor que si fos de factura rectangular o, en general, poligonal. I això vol dir menys despesa en material.