El nombre pi

(Antiga pintada al carrer de Sant Miquel i la seva inversió un poc modificada)

A cap alumne/a no li hauríem de furtar el plaer de descobrir per ell mateix, juntament amb els seus companys i companyes de classe, el nombre pi. Simplement hem d’animar-los a fer la divisió del perímetre d’un cercle entre el seu diàmetre, per a molts de cercles diferents (treball cooperatiu), veure que els resultats són prou coincidents i calcular la mitjana.

Història

El coneixement inicial de pi passa, efectivament, pel descobriment d’aquesta relació constant entre la longitud d’una circumferència i el seu diàmetre.

Els primers documents on es constata aquest fet apareixen a l’entorn de Mesopotàmia i Egipte. Es tracta de la tauleta YBC 7302 i el papir de Rhind, tots dos datats de principis del 2n mil·leni aC.

(Tauleta 7302 de la col·lecció babilònica de Yale. Imatge: Yale Peabody Museum of Natural History)

En aquesta tauleta, el valor de pi utilitzat és 3, aproximació habitual en aquells temps, tot i que també feien servir el 3.125 (3 i un vuitè).

(Papir de Rhind. Imatge de Paul James Cowie - Domini públic)

En aquest papir, el valor de pi utilitzat és 3.16 cosa que suposa un error inferior al 0.6%.

Tenim encara dos exemples històrics que ens remeten a l’aproximació entera de pi com a 3. Un, el passatge de l’Antic Testament, del I Llibre dels Reis (7-23), en què diu:

Féu, així mateix, un bací de fundició, de deu colzes de diàmetre, rodó, de cinc colzes d’alt i trenta de circumferència.

L’altre, del llibre de Montserrat Fontanet Art de conró (Mallorca, 1747), quan sobre el problema de canar una era de batre diu:

Nota que per canar una era o qualsevol radó hay à duas reglas: o quadrar-la y canar los quatre vents y trèurer el compte o canar-la ab duas canadas en creu y serà més aviat, y tant de una manera com de altre ca n’as tret el compte, puja lo que pujarà, has de llevar o trèurer la quarta part, y lo que quedarà serà de terra.

(Era de batre de la Trapa, Mallorca)

Aquest plantejament equival a dir que la superfície d’un cercle és 3/4 del diàmetre al quadrat, o sigui, que pi és igual a 3.

Però segurament, l’aproximació més acurada i rigorosa de pi a l’Edat Antiga la devem a Arquimedes, que en la seva obra "la mesura del cercle" el calcula pel mètode d’exhaustió. Arquimedes diu que 223/71 < pi < 22/7 cosa que suposa (la mitjana) 3.1419. Potser per això, el nombre pi es coneixia també com a constant d’Arquimedes.

Per millorar el coneixement de pi, hagueren d’arribar les sèries infinites. La primera passa en aquest sentit arribà de la mà del matemàtic indi Madhava de Sangamagrama (s. XIV), qui trobà que

A partir del s. XVI i, especialment, amb l’arribada del càlcul infinitesimal al s. XVII, hi va haver una vertadera eclosió de fórmules, brillants, elegants, espectaculars, sorprenents.

Fórmula de François Viète (1593):

Fórmula de John Wallis (1655):

O aquesta (que recorda els mòbils de l’escultor Alexandre Calder):

PROPIETATS

 Pi és irracional
Això vol dir que no existeix cap fracció de nombres enters que sigui exactament aquest nombre. Hem de recordar que, a la Grècia clàssica, per als Pitagòrics, els irracionals (anomenats llavors incommensurables) no existien. D’aquí que el valor de pi fos donat sempre com una fracció (22/7 en el cas arquimedià).

 Pi és transcendent
Ho demostrà Ferdinand von Lindemann el 1882. Això vol dir que no existeix cap polinomi de coeficients racionals que tengui pi com a solució. Aquest resultat és especialment important perquè tancava, després de més de 2000 anys, el problema de la quadratura del cercle. No es pot construir, amb regle i compàs, un quadrat que tengui la mateixa àrea que un cercle donat.

Una pregunta oberta

No se sap si pi és un nombre normal, és a dir, si podem trobar qualsevol successió de xifres decimals en la freqüència que seria esperada de ser aquesta aleatòria. Referent a aquesta idea, hi ha programes en xarxa que ens troben la nostra data de naixement. Si pi fos normal, podríem trobar qualsevol successió numèrica predeterminada i, per tant, codificant les lletres com a nombres, també qualsevol text.

Actualment, es coneixen més de 31 bilions de xifres decimals de pi.