La flor de 6 pètals

Una de les construccions geomètriques més populars i coneguda des d’antic és la flor de 6 pètals inscrita en una circumferència. El fet que el radi d’una circumferència ens doni exactament la longitud dels costats de l’hexàgon regular inscrit és una propietat que els alumnes poden i han d’experimentar des del seu primer contacte amb un compàs.

A Mallorca (i a tot el món), quan una planxa ha de deixar passar l’aire, sovint li es practicada aquesta figura. És el cas de cisternes, portes de rebost, gelosies, etc.

No hi ha dubte que l’hexàgon estrellat més gran inscrit en una circumferència que podem trobar a les Illes Balears és a la rosassa major de la Seu, l’Oculus Maior, construït al s. XIV, d’11,4 metres de diàmetre.

Els hexàgons regulars, per la seva facilitat de construcció, ja eren coneguts per les civilitzacions mesopotàmiques i egípcia. Però el primer escrit que parla del traçat amb regla i compàs d’aquesta figura geomètrica inscrita en una circumferència el trobam, com no podia ser d’altra manera, en els Elements d’Euclides (s. III aC). Concretament en la proposició XV del llibre IV. La construcció es descriu de la següent manera:

1- A partir del centre C dibuixa la circumferència principal. 2- Marca un punt P de la circumferència i traça la recta que passa per P i C. D’aquesta manera, obté el punt oposat Q. 3- Dibuixa la circumferència o arc amb centre P que passi per C. D’aquesta manera obté els punts R i S. 4- Ara traça la recta que passa per R i C i obté el punt T. 5- Igualment traça la recta que passa per S i C i obté el punt U.

Preguntes que ens podem fer:

 Per què l’hexàgon inscrit en una circumferència té la propietat que el seu costat és igual que el radi d’aquesta circumferència?

Un hexàgon regular es pot dividir en 6 triangles equilàters. De fet, la construcció exposada comença pels dos triangles equilàters superiors. En aquests triangles equilàters està clar, per definició i per construcció, que els radis són iguals que els costats exteriors. I com que els tres angles són iguals i han de sumar 180º, llavors cada angle és de 60º. Per tant, podrem tancar la circumferència amb 6 triangles per formar l’hexàgon.