T1 Ep.3 - El secret del calendari

Aquesta investigació pretén descobrir quina és la relació aritmètica entre la suma dels nou nombres que poden formar un quadrat 3x3 en un calendari i el nombre que ocupa la posició central.

En el cas de la fotografia anterior, la suma dels nou nombres és 108 i el nombre central 12. Si prenem un altre quadrat, per exemple,

la suma dels nou nombres és 135 i el nombre central 15.

Per poques proves que facem, la relació entre aquests parells de nombres esdevé evident. Basta dividir la suma per 9 (el nombre de dies dins el quadrat) per obtenir el nombre central.

108 : 9 = 12

135 : 9 = 15

Per què és així?

Quan dividim la suma per 9, estam fent -de facto- la mitjana. Això és així perquè els 4 nombres més petits que el central, es troben a la mateixa distància del centre que els 4 nombres més grans, de manera que es compensen mútuament. En el darrer cas, podem observar: 14 i 16 (mitjana 15), 9 i 21 (mitjana 15), 8 i 22 (mitjana 15), 7 i 23 (mitjana 15).

Algebraicament es pot representar de la següent manera:

Si sumam totes les caselles, obtindrem:

x-8 + x-7 + x-6 + x-1 + x + x+1 + x+6 + x+7 + x+8= 9x

És a dir, nou vegades el valor central, tal i com ja havíem descobert.

Un truc de màgia

Aquesta propietat, es pot presentar en forma de truc de màgia (la primera vegada que el vérem així fou de la mà de Fernando Blasco). Diem a qualcú que sumi els nou nombres d’un quadrat 3x3 sense que nosaltres sapiguem quin és. Quan ens digui el resultat final, simplement el dividirem per 9 i li podrem dir quin és el nombre central (i, per tant, tots els altres).

Dividir un múltiple de 9 de 3 xifres és una tasca que pot resultar molt fàcil.

En un calendari, la suma més petita que pot sortir d’un quadrat 3x3 és 81. La divisió per 9 és immediata. De la mateixa manera que si surt 90 (amb el 10 al centre).

Per valors de la suma més grans, que poden anar des de 99 fins a 207, només hem de mirar dues coses:

1- Si la suma està entre 90 i 180, el resultat serà deu i busques. Si la suma és a partir de 180, el resultat serà vint i busques.

2- Saber les busques és molt senzill. Simplement s’ha de mirar quantes unitats fan falta per completar una desena. Veiem alguns exemples:

SUMA = 153
Com que no arriba a 180, serà deu i busques.
Com que acaba en 3, per completar una desena en necessitam 7.
Llavors 153 : 9 = 17

SUMA = 198
Com que passa de 180 serà vint i busques.
Com que acaba en 8, per completar una desena en necessitam 2.
Llavors 198 : 9 = 22

Si voleu saber més sobre el nostre calendari, podeu mirar aquesta pinzellada de cultura matemàtica.