Endre Szemerédi, premi Abel d’enguany

Ahir, 21 de març, s’anuncià la concessió de la medalla Abel, la que molts consideren com l’equivalent pels matemàtics del premi Nobel, al matemàtic hongarès Endre Szemerédi. Ha estat una sorpresa molt agradable per molts de nosaltres, perquè la recerca den Szemerédi s’ha orientat bàsicament vers la matemàtica discreta, una branca de la matemàtica sovint menystinguda pels matemàtics que treballen en temes clàssics (alguns en diuen seriosos) com ara l’anàlisi, l’àlgebra o la geometria.

La matemàtica discreta estudia bàsicament estructures suportades sobre conjunts comptables, i inclou, per exemple, la teoria de grafs, la combinatòria, la teoria de codis, els models formals de computació o l’aritmètica elemental. Encara que els problemes combinatoris o d’aritmètica són tan antics com la matemàtica mateixa, i la teoria de grafs es remunta com a mínim a Euler, no ha estat fins als darrers diguem cinquanta anys que ha pres força en el corrent principal de les matemàtiques. Els motius pels quals la matemàtica discreta és avui en dia important haurien de ser obvis: les estructures matemàtiques relacionades amb els ordinadors, o els grafs que modelen totes les connexions i relacions rellevants per a la nostra societat, pertanyen al seu reialme. Per tant, la matemàtica discreta té moltes aplicacions, i als matemàtics ens encanta dir que el que fem té aplicacions, d’aquí que s’hagi posat de moda. Emperò, per molts encara no és considerada una branca de la matemàtica de ple dret, igual que li passa a l’estadística: per exemple, a l’arXiv la matemàtica discreta és una subàrea de la informàtica, no de les matemàtiques. Per aquest motiu, el fet que el premi Abel hagi anat a parar a un investigador en matemàtica discreta té la lectura de reivindicació de la importància d’aquest camp dins les matemàtiques.

Entrant al detall, Szemerédi passarà a la història per molts resultats. Els més famosos són el teorema i el lema que porten el seu nom. La seva pàgina a la Wikipedia n’esmenta alguns altres.

El teorema de Szemerédi diu que el conjunt més gran possible de nombres naturals entre 1 i n que no contingui una progressió aritmètica de longitud fixada, representa un percentatge de que tendeix a 0 quan n tendeix a infinit. Així, per exemple, si n és prou gran, la quantitat màxima de nombres entre 1 i n que podem escollir sense formar una progressió aritmètica de longitud, jo què sé, 5, és inferior a la milionèssima part de n. Abans de la demostració de Szemerédi d’aquest teorema, els casos particulars de longituds 3 i 4 s’havien considerat duríssims. Una aplicació famosa del teorema de Szemerédi és el teorema de Green-Tao que existeixen progressions aritmètiques tan llargues com vulguem formades només per nombres primers. Pel que fa al lema de regularitat de Szemerédi, és mal d’enunciar formalment, però la idea és la següent: sempre podem partir els nodes d’un graf en un nombre petit de classes, de tal manera que el graf quocient corresponent (que té com a nodes aquestes classes, i cada parella de classes diferents hi està connectada per una aresta si el graf original contenia una aresta que connectàs nodes de les dues classes) sembli aleatori. És un resultat amb moltes aplicacions en teoria de grafs.