Caçada pel teorema de Pólya

Veig, a la mosquitera de la cuina, una abella que ha quedat atrapada entre aquesta quadrícula plàstica i el vidre de la finestra. És una bona ocasió per fer una foto, pens. Quan retorn amb la càmera a la mà, el seu camí brownià l’ha portada rere una de les fustes. Cap problema. Només cal esperar el temps necessari perquè torni a passar pel punt adient i prémer, llavors, el disparador.

Ara fa 90 anys, el 1921, George Pólya enuncià i demostrà el teorema dels passeigs aleatoris. En ell s’explica que si un objecte es desplaça aleatòriament per una recta (passa per passa, endavant o endarrere de forma equiprobable) aquest objecte tornarà a passar necessàriament pel punt de partida.

En dues dimensions, com és el cas d’aquesta pobra abella, el teorema afirma altra vegada el mateix. És a dir, si l’abella escollís aleatòriament i equiprobable una de les quatre direccions possibles d’aquesta trama quadriculada, i ho seguís fent així mateix de punt en punt, retornaria altre cop al punt de partida amb probabilitat u.

Més pelut (o plomut) ho tendrien els ocells joves que sortissin inconscients del niu sense prendre referències. Imaginem-nos una trama cúbica (com deixar de pensar en la pel·lícula Cube?) on cada punt comporta 6 direccions possibles. Llavors el teorema ens fa saber que la probabilitat que l’ocell pogués retornar al niu, escollint aleatòriament la direcció de punt a punt, seria només d’un 0,3405...

Teniu el desenvolupament formal d’aquestes qüestions a l’article de MAT2 de Xavier Bardina.

Per un applet que modelitzi el problema en una dimensió, podeu veure:

http://www.math.uah.edu/stat/applets/RandomWalkExperiment.xhtml