Inici > Cultivar la mirada matemàtica > Cons que formen esferes

Cons que formen esferes

dimecres 28 de desembre de 2011, per Josep L. Pol i Llompart

Etiquetes: Geometria

CEIP Gabriel Janer Manila, Marratxí

Si hi ha gent que pot fer rodar la imaginació talment un tassó de plàstic al vent, aquestes persones són sense cap dubte les mestres. Recuper aquesta foto que vaig fer fa uns anys al col·legi públic des Pla de na Tesa, a Marratxí, on s’havien fet unes grans bolles de Nadal amb tassons de plàstic grapats. Una imatge certament bonica i molt rica si el que volem és fer-hi una ullada matemàtica.

El centre de la bolla, ens recorda el que va demostrar el 1890 el matemàtic norueg Axel Thue: que la manera més compacte de compondre cercles en un pla és aquella distribució que envolta cada cercle de 6 cercles més formant un hexàgon.

Per altra banda, el fet que no pugui ser així en tota la superfície d’aquesta bolla, ens recorda que només hi ha cinc sòlids platònics, és a dir, aquells que tenen les seves cares, arestes i vèrtexs equivalents (el tetraedre, el cub, l’octaedre, el dodecaedre i l’icosaedre). És a dir, que no hi ha manera de col·locar de manera perfectament homogènia i formant una esfera, un nombre de tassons que sigui diferent de 4, 6, 8, 12 o 20.

A més a més, aquesta distribució a partir de tassons troncocònics, ens fa pensar en el concepte tan poc tractat de l’angle sòlid. És a dir, aquella obertura del vèrtex d’un con que partint del centre d’una esfera abraça una part de la seva superfície. I si l’angle pla d’una volta completa és $2 \cdot \pi$ (perquè $2 \cdot \pi \cdot r$ és la seva longitud), l’angle sòlid d’un con que s’anàs obrint i abraçàs l’esfera completa seria $4 \cdot \pi$ (perquè $4 \cdot \pi \cdot r^2$ és la seva superfície completa).

I amb aquestes estant, n’Anton Aubanell em presenta una preciosa visualització del volum d’una esfera: si el volum d’un con és $\frac{A_b \cdot h}{3}$ i anam prenent cons i més cons de manera que les seves bases recobreixin tota la superfície de l’esfera amb els vèrtexs al centre, al final, per calcular el volum de l’esfera com a suma dels de tots els cons, en podrem prendre factor comú l’altura (que coincidirà amb el radi) i el tres del denominador. Factor comú d’una suma -ara- de superfícies que serà, efectivament, la superfície de l’esfera. Tendrem doncs el conegut $\frac{4\cdot \pi \cdot r^3}{3}$ .