Un Consell polièdric

Dornoch, Escòcia

A l’entrada de l’oficina d’informació turística del poble costaner de Dornoch hi trobam aquest rètol, en anglès i en gaèlic, que ens informa que som a les Highlands, el més gran dels 32 Consells administratius en què es divideix Escòcia. A part de la curiositat de la cinquena potència de dos, el logo de la Comhairle na Gaidhealtachd (per què dir-ho en anglès si tenen llengua pròpia?) em suggereix dos temes ben interessants i diferents. Un el de la geodèsia i la triangulació tan important en el traçat de mapes fins al segle XX. L’altre, el del desenvolupament pla de l’octàedre (o dels políedres en general). Agafem aquest darrer problema.

Si un fa cas a Pólya i comença per posar-se l’exemple més senzill, se’n tem que el tetraedre admet només dos desenvolupaments diferents: un en què els quatre triangles equilàters en formen un igualment equilàter de costat dos, i un altre amb els quatre triangles en línia. En ambdós casos, el perímetre de la figura que s’obté és sis.

Pel que fa a l’hexàedre, el cub vaja, ja trobam onze possibilitats. Ja se sap, quan la cosa es complica l’ordre és molt important. En concret, si un imposa 4 quadrats en línia, el problema dóna sis solucions, si imposam l’existència de tres i només tres quadrats en línia, les solucions són quatre mentre que evitant el fet que n’hi hagi més de dos, només hi ha una possibilitat. En aquest cas també trobam perímetre constant de catorze unitats per a tots els desenvolupaments.

Us atreviu amb l’octaedre? Per què el perímetre del desenvolupament pla d’un políedre regular ha de ser constant?