Un sangaku al restaurant japonès

Restaurant japonès Shogun, Palma

Els sangakus són un tipus de matemàtica creativa que florí al Japó aïllat dels segles XVII, XVIII i XIX. Es tracta de problemes geomètrics, molts d’ells extremadament difícils, representats en tauletes de fusta que es penjaven sota les teulades dels temples. Tot i això, sempre hi havia nins que els resolien per camins no ortodoxes, creatius. Se’n conserven més de vuit-cents.

Dinant en un restaurant japonès de Palma en sobta aquest immens ull. Si aquesta és la solució, quin podria ser el problema?

D’entrada, veim que el fuster que l’ha fet, ha decidit inscriure un gran quadrat en la finestra circular. Els costats d’aquest quadrat s’han dividit entre quatre i s’ha quadriculat el resultat. I aquest fet fa que no es vegi cap segment del perímetre del següent quadrat concèntric, el de 6x6. Per tant, el problema podria ser: quin és el nombre màxim d’unitats enteres en què podem dividir un quadrat de manera que ocorri això? Aquest problema, lògicament es podria resoldre algebraicament.

Però recolzant-nos en una altra mirada matemàtica, podem recordar que un teorema d’Euclides ens diu que l’àrea d’un quadrat inscrit en una circumferència és la meitat que la del circumscrit. Per tant, lògicament si aquest quadrat mesura 16 quadradets, el següent seria de 36 quadradets, és a dir, que ultrapassa els límits de la circumferència que tendria un quadrat circumscrit de 32 quadradets. Si dividíssim el quadrat inscrit en 5x5, llavors el quadrat concèncric següent de 7x7 tendria 49 quadradets i, per un quadradet de diferència ja veuriem quatre petits segments del perímetre d’aquest quadrat (més petit ara que el circumscrit) als quatre punts cardinals. Els clàssics ens surten a camí.

Vist des del GeoGebra:

El quadrat inicial de 3x3

El quadrat inicial de 4x4 (el del restaurant)

El quadrat inicial de 5x5